Sir William Rowan Hamilton, né le 4 août 1805 à Dublin où il meurt le 2 septembre 1865, est un mathématicien, physicien et astronome irlandais.
Il est connu pour sa découverte des quaternions, mais il contribue aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre. Ses recherches se révélèrent importantes pour le développement de la mécanique quantique.
Les travaux mathématiques de Hamilton incluent l'étude de l'optique géométrique, l'adaptation des méthodes dynamiques aux systèmes optiques, l'application des quaternions et des vecteurs aux problèmes de mécanique et de géométrie, les possibilités de résolution des équations polynomiales, notamment l'équation générale du cinquième degré, les opérateurs linéaires, dont il prouve un résultat concernant ces opérateurs dans l'espace des quaternions et qui est un cas spécial du théorème de Cayley-Hamilton.
William Rowan Hamilton naît à Dublin au sein d'une famille de confession anglicane, largement minoritaire parmi une population irlandaise majoritairement catholique. Son père, Archibald Hamilton, est l'administrateur et le représentant légal d'Archibald Rowan, une figure de proue des révoltes irlandaises du XVIIIe siècle, qui est le parrain du petit William. Archibald Rowan vit de l'argent que lui verse le père de William, lequel n'a rien de révolutionnaire mais se dit libéral et sympathisant de certaines revendications des Catholiques. Son soutien financier à Rowan est la perte de Hamilton père. Lorsque Rowan, gracié, revient triomphalement en Irlande, il refuse de rembourser Hamilton père, qui passera le restant de ses jours à se débattre dans les pires difficultés financières. C'est pourquoi le jeune William ira vivre chez son oncle James Hamilton, dans un petit bourg appelé Trim (Comté de Meath), à quarante miles de Dublin. L'oncle James est une sorte de sacristain qui, à la différence de son frère Archibald, a étudié au prestigieux Trinity College de Dublin. C'est aussi un tory, c'est-à-dire un conservateur pur jus, et il inculque nombre de ses idées politiques à son jeune neveu.
L'enfance de William Hamilton se déroule donc loin de tout. Trim possède un château médiéval avec fossés, donjon et remparts, et il aime y passer ses journées en compagnie de son ami Thomas Fitzpatrick. Il construit un cadran solaire et met au point un système de sémaphores permettant de communiquer d'une rive à l'autre du fleuve Boyne. Dès son plus jeune âge, William manifeste des dons exceptionnels pour les mathématiques : il apprend tout seul l'addition et la multiplication, en inventant ses propres algorithmes lorsque la méthode qu'on lui enseigne ne lui plaît pas. L'oncle James, qui est linguiste, a appris à son neveu à lire et à écrire dès son plus jeune âge, puis l'initie au latin, au grec et à l'hébreu. À l'âge de dix ans, il a appris la langue hindi et il maîtrise également le marathi, le bengali, le persan, l'assyrien et le sanskrit. À l'âge de treize ans, il a déjà acquis autant de langues qu'il a d'années : outre les langues européennes classiques et modernes, l'arabe, l'hindousthânî et le malais.
En 1817, sa mère meurt. La relation du jeune Hamilton avec ses parents a beau être distante — il ne les a vus qu'occasionnellement, et son père ne lui écrit jamais —, c'est néanmoins un choc. Plongé dans sa nouvelle solitude, Hamilton père commence à adresser de longues lettres — aussi chaleureuses que des lettres de change ! — à son fils et à ses deux filles, Grace l'aînée et Eliza. Il leur prodigue des conseils, qui viennent sans doute un peu tard pour ces enfants auxquels il n'a jamais vraiment fait attention. À cette époque, l'adolescent a déjà fait preuve de dons impressionnants pour le calcul mental. À l'âge de douze ans, il affronte à Dublin Zerah Colburn, le jeune prodige américain, et ils testent mutuellement leur habileté arithmétique lors de compétitions. Colburn gagne chacun de leurs matchs et William en est traumatisé. Il persuade Colburn de lui révéler ses techniques, les analyse et en démontre les limites. Des années plus tard, il reconnaît que cet épisode a été d'une grande importance pour lui. À partir de ce moment, il se consacre de plus en plus aux mathématiques et délaisse les langues peu à peu. À l'âge de treize ans, il tombe sur un traité d'algèbre de l'astronome et mathématicien Alexis Claude Clairaut, qu'il dévore. Il fréquente aussi son cousin Arthur Hamilton, avocat, diplômé de Trinity College, qui prend intérêt au brillant garçon et l'incite à y faire ses études. En 1820, son père meurt et le jeune Hamilton entreprend de préparer les examens d'admission en lettres et en sciences. En 1821, son oncle James offre à William un exemplaire de la Géométrie analytique du mathématicien irlandais Bartholomew Lloyd qui enseigne au Trinity College de Dublin. Dès cette époque, Hamilton verra une relation entre le monde de la poésie et celui des mathématiques : ces deux univers lui procurent le même type d'émotions esthétiques. Pour son examen d'entrée à Trinity College, il doit étudier les travaux d'Isaac Newton et les Éléments d'Euclide. Au printemps 1822, il contracte la coqueluche, son médecin décrète qu'il doit changer d'air et l'expédie à Dublin, où Charles Boyton — un ami de la famille — vient d'être nommé fellow au College et lui prête plusieurs livres français de Gaspard Monge, Joseph-Louis Lagrange, Siméon Denis Poisson, Louis-Benjamin Francœur et Pierre-Simon de Laplace. Son enthousiasme lui permet même de découvrir une erreur mineure chez Laplace. La correction apportée par Hamilton est portée à la connaissance de John Brinkley, l'astronome royal d'Irlande qui, l'ayant rencontré, ne tarit pas d'éloges à son sujet. En quelques mois, il a acquis le niveau de l'École polytechnique française.
Son goût pour la poésie ne l'a pas quitté, et il lui arrive de se demander s'il ne fait pas fausse route en choisissant de se consacrer à la science. Il devient l'ami d'un géant de la poésie anglaise, le poète romantique William Wordsworth, qui lui fait comprendre que sa voie se trouve du côté des mathématiques.
Le 7 juillet 1823, Hamilton passe son examen d'entrée au Trinity College de Dublin, surpassant tous ses concurrents. Il est classé premier, après avoir obtenu les meilleures notes dans toutes les matières. Ses études à Trinity College se déroulent sans soucis particuliers. Il veut obtenir les deux médailles d'or auxquelles il peut prétendre, dans les humanités classiques et dans les sciences, tout en préparant les examens pour un fellowship, qui lui garantirait un emploi. Mais en dépit de tout son génie, il n'obtient ni médaille d'or, ni fellowship. Lors d'une soirée, il a rencontré Catherine Disney et c'est le coup de foudre réciproque. Mais les parents de la jeune fille ne veulent pas la marier à un étudiant sans ressources et, en février 1825, Mme Disney annonce à Hamilton que sa fille s'est fiancée au pasteur Barlow, un ami de la famille. Hamilton tombe dans une profonde dépression, ses études s'en ressentent et il n'obtient que des notes moyennes au lieu des habituelles notes exceptionnelles. Cela ne fait que le déprimer davantage.
La même année, il produit son premier travail scientifique, intitulé À propos des caustiques, qui est soumis pour publication dans les comptes rendus de l'Académie royale d'Irlande la veille de Noël. Son travail ne convainc pas le comité de sélection qui, en fait, n'a visiblement rien compris à ce que Hamilton s'est proposé de faire, une situation qui se renouvellera au cours de sa carrière, car en dépit de son génie, ses dons pédagogiques sont médiocres. Il peaufine et complète son travail qui, devenu un véritable chef-d'œuvre, sera publié deux ans plus tard. En attendant, il obtient les meilleures notes en sciences comme en lettres lors de ses examens, et devient le premier étudiant de Trinity College à accomplir un tel exploit. Ensuite, l'obtention de son diplôme n'est qu'une formalité.
Au même moment se produit un événement imprévu : John Brinkley démissionne du poste d'astronome royal d'Irlande pour occuper une charge ecclésiastique bien mieux payée. Hamilton n'a que vingt-deux ans et n'est même pas fellow, situation inédite qui en dit long sur sa réputation à ce moment. Le poste ne lui a pas été exactement offert, mais les électeurs se sont réunis, ont abordé le sujet, et ont autorisé Charles Boyton, l'ami personnel de Hamilton, à l'inviter à se porter candidat, une initiative que la modestie de Hamilton l'empêche de prendre. Il considère, pour sa part, que le poste est une sinécure, une position dotée d'une rémunération mais exigeant peu de travail : il n'a aucunement l'intention de se consacrer à l'astronomie, discipline pour laquelle il n'a aucun intérêt. Lors de son audition à candidature, il ne se prive pas de le dire et affirme que le poste l'intéresse car cela lui permettra de se consacrer à ses travaux sans perdre son temps comme un vulgaire fellow à préparer et à donner des cours. En dépit des protestations de Brinkley, le comité de direction de l'observatoire approuve à l'unanimité sa nomination, qui en fait concerne trois postes : celui d'astronome royal, celui de directeur de l'observatoire de Dunsink et celui de professeur d'astronomie à Trinity College. Il s'agit aussi d'un poste à vie, unique en Irlande, qui lui permet de faire ce dont il rêve depuis longtemps : vivre sous le même toit que ses nombreuses sœurs, Grace l'aînée s'occupant de l'intendance.