Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à Beaumont-de-Lomagne (département actuel de Tarn-et-Garonne), près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres (département actuel du Tarn), est un magistrat, polymathe et surtout mathématicien français, surnommé par E.T. Bell « le prince des amateurs ». Il est aussi poète, habile latiniste et helléniste, et s'est intéressé aux sciences et en particulier à la physique ; on lui doit notamment le principe de Fermat en optique. Il est particulièrement connu pour avoir énoncé le dernier théorème de Fermat, dont la démonstration n'a été établie que plus de 300 ans plus tard, par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994.
Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé de Beaumont-de-Lomagne. Ce bourgeois et second consul de la ville de Beaumont est connu comme marchand de cuir (et autres denrées) ; il s'est marié successivement à Françoise Cazeneuve, fille d'un marchand aisé (et ce jusqu'en 1603 au moins), puis à Claire de Long, fille de Clément de Long seigneur de Barès (et ce avant 1607). On ne sait cependant laquelle de ces deux femmes fut la mère du mathématicien. Plusieurs documents témoignent de la naissance d'un enfant Fermat du nom de Pierre : un Pierre Fermat est baptisé le 20 août 1601, un autre le 31 octobre 1605. Mais selon une épitaphe conservée au Musée des Augustins, il serait mort dans sa 57e année soit une naissance en 1607 ou 1608. Les lacunes des registres entre 1607 et 1611 rendent impossible toute certitude. En revanche la maison où est né le mathématicien (et qui abrite de nos jours un musée dédié au mathématicien ainsi que l'Office de Tourisme Intercommunal) est bien identifiée : elle fut occupée, de 1577 à 1707, par quatre générations de Fermat.
En 1626, Dominique Fermat rédige son testament dans lequel il fait de Pierre Fermat son légataire universel, laissant une rente à son fils cadet Clément et fixant le montant des dots de ses deux sœurs, Louise et Marie. À la mort de son père en 1628, Pierre Fermat est un homme aisé.
On ignore où Pierre de Fermat a effectué ses études primaires. Par la suite, il suit des études de droit à Toulouse et à l'université d'Orléans, dont il sort bachelier de droit civil en 1631.
Dès 1627, Fermat, avocat à Bordeaux, fréquente vraisemblablement les milieux scientifiques et juridiques autour du président Jean d'Espagnet et de son fils, Étienne. Il y rencontre le secrétaire royal Jean de Beaugrand et s'initie aux notations algébriques de Viète au travers d'un exemplaire prêté par son ami d'Espagnet. Selon les affirmations contenues dans ses lettres à Mersenne, il entretient Étienne d'Espagnet de sa méthode de maximis et minimis dès cette époque. Il affirme également avoir produit une méthode pour les carrés magiques. Hormis cela, sa formation en tant que mathématicien n'est que peu connue ; il semble qu'il se soit même éloigné de ces recherches pendant un temps.
En 1631, il s'installe à Toulouse pour poursuivre une carrière dans la magistrature. Il achète une charge de commissaire aux requêtes au sein du parlement de Toulouse dans laquelle il est installé le 14 mai. Les commissaires aux requêtes du palais, bien que jouissant du titre de conseiller du roi, ne faisaient pas partie de la cour de parlement proprement dite. À l’époque cette chambre, autrefois composée des plus vieux conseillers, servait au contraire, et depuis longtemps déjà, aux jeunes magistrats débutants, qui de là passaient ensuite dans les chambres plus prestigieuses du parlement, la Grand'chambre et les chambres des enquêtes. Fermat épouse à Toulouse (paroisse Saint-Étienne), le 1er juin (bans le 20 avril à Beaumont) de la même année, Louise de Long, fille de Clément de Long, un des principaux conseillers du Parlement, cousine éloignée, avec laquelle il aura sept enfants : Clément-Samuel, Claire, Jean, Catherine, Bertrand, Louise et Jeanne.
Clément-Samuel deviendra juriste et achètera en 1662 à son beau-frère la charge de conseiller en la Cour et commissaire aux requêtes du palais au parlement de Toulouse ; Jean sera archidiacre de Fimarcon, en Lomagne gersoise ; Claire fondera une famille de six enfants avec Guillaume de Melet ; Catherine et Louise deviendront religieuses franciscaines à Toulouse et Bertrand et Jeanne mourront en bas âge.
Fermat ne rencontrera jamais François Viète, décédé en 1603, quand il n'a peut-être que deux ans, mais il noue des liens avec l'un de ses disciples, Jean de Beaugrand, qui va devenir son ami et son collègue jusqu'à sa mort. En 1629, à vingt-huit ans, Fermat commence déjà à manifester les premiers signes de son talent mathématique et envoie à Beaugrand un exemplaire de sa reconstitution d'une œuvre perdue du géomètre grec Apollonius de Perge, De locis planis (Sur les lieux [géométriques] plans). Il persiste à se faire connaître au début des années 1630, par la publication de courts traités, la plupart consacrés à la géométrie.
Fermat et l'académie de Mersenne
Dès 1636, il entre en correspondance avec Marin Mersenne, et dans sa première lettre lui demande quelles nouveautés ont paru en mathématiques depuis les cinq dernières années. La même année, il publie sa traduction d'Apollonios de Perga, De Locis planis, Des lieux plans. En 1638, il expose au public sa méthode des minima. Le 18 janvier, Descartes l'attaque dans une lettre à Mersenne sur sa passion, qu’il partage avec Viète, Ghetaldi et Snell, de s'appliquer à restaurer les Grecs.
Quoiqu'il ne semble pas s'être rendu à Paris, ses amis mathématiciens le représentent auprès de Mersenne. Ce sont Beaugrand, Étienne Pascal et Roberval qu'il charge de soutenir ses idées, lorsque, en 1640, il y a la première controverse avec Descartes au sujet de l'optique.
Il correspond avec Torricelli, Carcavi, John Wallis, William Brouncker, Frénicle... Comme il demande systématiquement de démontrer par la preuve les théories qu'il avance, cette exigence ravive quelquefois l'ire des autres envers lui. N'écrit-il pas à Mersenne : « J'ay si peu de commodité d'escrire mes démonstrations, que je me contente d'avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver, lorsque j'auray le loisir de le faire. ». Et à Roberval : « Je ne doute pas que la chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes. »
L'année qui suit, Descartes provoque une nouvelle dispute à propos de la généralité de la méthode de Fermat (méthode de maximis et minimis) à déterminer correctement les tangentes d'une courbe algébrique. Celle-ci se fait encore par la médiation de Mersenne. Roberval et Étienne Pascal, convaincus par la méthode de Fermat, même s'ils la maîtrisent mal, prennent son parti, tandis que Descartes est soutenu par Claude Mydorge et Claude Hardy.
Pour mettre fin à la polémique, Fermat transmet à Descartes une lettre où il décrit plus précisément sa méthode, lettre qui commence par ces mots :
« La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble l'avoir été. »
« Je n'ai pas eu moins de joie de recevoir la lettre par laquelle vous me faites la faveur de me promettre votre amitié, que si elle me venait d'une maîtresse dont j'aurais passionnément désiré les bonnes grâces. »
[…] « Et voyant la dernière façon dont vous usez pour trouver les tangentes des lignes courbes, je n'ai autre chose à y répondre, sinon qu'elle est très bonne et que si vous l'eussiez expliquée au commencement en celte façon, je n'y eusse point du tout contredit. »
Ainsi Descartes admet la pertinence de la méthode de Fermat, méthode qui deviendra par la suite le fondement du calcul différentiel.