Maryam Mirzakhani (en persan : مریم میرزاخانی), née le 12 mai 1977 à Téhéran et morte le 14 juillet 2017 à Stanford (Californie), est une mathématicienne iranienne, professeur à l'université Stanford, connue pour ses travaux en topologie et en géométrie (notamment en géométrie des surfaces de Riemann) et la première femme et aussi première personne de nationalité iranienne lauréate de la médaille Fields (13 août 2014).
Maryam Mirzakhani naît le 12 mai 1977 à Téhéran. Elle intègre le lycée Farzanegan (en) de Téhéran, un lycée pour jeunes filles surdouées dépendant de l’Organisation nationale pour le développement des talents exceptionnels (SAMPAD). Elle est, en 1994 à Hong Kong, lauréate pour la deuxième année des Olympiades internationales de mathématiques (score de 41 points sur 42). À Toronto en 1995, elle obtient le score maximal, ce qui lui ouvre les portes de la très sélective université de technologie de Sharif à Téhéran.
Le 17 mars 1998, après la 22e compétition de mathématiques pour étudiants à l'université Shahid Chamran d'Ahvaz, elle survit à un accident d'autobus où plusieurs jeunes mathématiciens perdent la vie.
En 1999, elle obtient un Bachelor of Science en mathématiques à l'université de technologie de Sharif. Elle attire l'attention lors de ses études de l'American Mathematical Society pour ses travaux consistant à formuler une preuve simple du théorème de Schur. Elle se rend ensuite aux États-Unis et obtient un doctorat à l'université Harvard en 2004, où elle est supervisée par le lauréat de la médaille Fields Curtis T. McMullen.
Elle est nommée maître de conférences à Princeton en 2004, puis, en septembre 2008 (à 31 ans), professeur de mathématiques à Stanford.
Elle meurt le 14 juillet 2017 à Stanford, à 40 ans, des suites d'un cancer du sein.
Enfant, son passe-temps favori est la lecture de romans et elle rêve de devenir écrivaine. Son frère aîné lui fait lire un ouvrage sur Carl Friedrich Gauss dans lequel il explique comment effectuer facilement la somme de tous les entiers de 1 à 100. Séduite par cette méthode, Maryam Mirzakhani poursuit son investigation et découvre l'art du raisonnement mathématique à travers le théorème local de Gauss, dont « on peut dire qu'il permet de repérer localement un point sur une surface quelconque par un nombre complexe, [ramenant] la dimension deux réelle […] à la dimension un complexe. Les surfaces deviennent de dimension un et ce sont donc des courbes complexes. » Elle complète son apprentissage des théorèmes de Gauss par les théories de Riemann et les surfaces complexes, qu'elle développera au point de se voir attribuer la médaille Fields.
À Harvard, en 2004, elle soutient une thèse de doctorat de mathématiques intitulée Simple geodesics on hyperbolic surfaces and volume of the moduli space of curves ; son directeur de thèse est Curtis McMullen, lauréat de la médaille Fields en 1998. Son travail est loué par ses pairs et notamment le professeur Benson Farb. On parle même de chef-d’œuvre : non seulement elle résout deux problèmes majeurs de mathématiques, mais de plus elle les relie. Il s'agit des surfaces de Riemann et des espaces de modules.
Elle s’intéresse aux surfaces de Riemann. « Riemann étudie les surfaces, non pas comme des objets individuels, mais comme appartenant à des familles de surfaces se déduisant les unes des autres par déformations. Ceci divise essentiellement les surfaces selon leur genre. »
Elle poursuit l'étude de ces surfaces, approfondissant les résultats de Riemann. Les champs de recherche de Maryam Mirzakhani comprennent divers domaines mathématiques : l'espace de Teichmüller, la géométrie hyperbolique, la théorie ergodique, l'espace de modules et la géométrie symplectique. Elle montre en 2008 que, sur une surface, le nombre Ns(L) des géodésiques fermées simples (c.-à-d. ne se recoupant pas) de longueur inférieure à L croît comme c·L6g-6+2n où c est une constante et g et n des paramètres topologiques. Elle produit une démonstration élégante d'une conjecture proposée par le physicien Edward Witten dans le cadre de la théorie des cordes.
Plus récemment, elle démontre, avec Alex Eskin, le théorème dit « de la baguette magique » relatif aux billards mathématiques. Ils étudient la dynamique d'un mobile lancé selon une tangente à une surface de Riemann. En considérant la variable « temps » comme un nombre complexe, ils montrent que la trajectoire du mobile est alors une courbe complexe, c’est-à-dire une surface, de comportement dynamique plus simple que prévu. Ce travail généralise un résultat obtenu par une autre mathématicienne de renom, Marina Ratner ; les deux femmes décèdent à une semaine d’intervalle.
En 2014, elle reçoit la médaille Fields « pour ses contributions exceptionnelles à la dynamique et la géométrie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de modules ». Elle est la première femme — et la première personne de nationalité iranienne — à la recevoir, ce qui lui vaut les félicitations du président iranien Hassan Rouhani.
En 2016, Maryam Mirzakhani est nommée membre de l'Académie nationale des sciences, devenant la première femme iranienne à être officiellement acceptée comme membre de l'académie.
Les publications de Maryam Mirzakhani sont en anglais.
(en) « Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces »[PDF], dans Inventiones mathematicae, vol. 167, 1, Springer, 2007, p. 179-222, dernière modification : 12 juillet 2005
(en) « Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli spaces of curves »[PDF], dans Journal of the American Mathematical Society, 2007
(en) « Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces »[PDF], Ann. Math., 2008
(en) Ergodic theory of the earthquake flow, International Mathematics Research Notices, 2008