Guillaume-Jules Hoüel, né le 7 avril 1823 à Thaon et mort le 14 juin 1886 à Périers-sur-le-Dan, est un mathématicien français.
D’une ancienne famille protestante de Normandie, Jules Hoüel a fait ses études au lycée de Caen, puis au collège Rollin à Paris, établissement qui préparait le concours aux grands écoles, avant d’entrer, en 1843, à l’École normale supérieure, où il témoigne d'un esprit rigoureux. Il a vraisemblablement côtoyé Louis Pasteur, étant de la même promotion.
Agrégé de mathématiques en 1847, il professe successivement dans les lycées de Bourges (1846-1847), Bordeaux (1847-1849), Pau (1849-1851), Alençon (1851-1855) et Caen (1856).
Le 18 aout 1855, il soutient à la Sorbonne sa thèse en mécanique céleste intitulée « Sur l'intégration des équations différentielles dans les problèmes de mécaniques », avec pour thèse complémentaire en astronomie « Applications de la méthode de M. Hamilton aux perturbations de Jupiter ». Remarqué par Urbain Le Verrier qui lui propose de rejoindre l'Observatoire de Paris, il préfère rester en province, dans sa maison de Thaon, où il poursuit ses recherches (notamment sur les perfectionnements des tables logarithmiques). Durant cette période, il commence son activité de traducteur avec des articles du scientifique Gustav Lejeune-Dirichlet pour le Journal de mathématiques pures et appliquées.
En 1859, il succède à Victor-Amédée Le Besgue sur la chaire de mathématiques pures à la Faculté des sciences de Bordeaux où il restera jusqu'à sa retraite. De là, il travaille à ses recherches par correspondance, refusant catégoriquement d'aller à Paris, comme en témoigne cet extrait :
« Tu aimes Paris. Tant mieux, puisque tu y es. Mais je t'affirme que tout ce que j'en ai vu et entendu dire par toi et les autres qui ont quitté la province pour s'y fixer ne me donne pas la moindre envie d'en faire autant. Je ne pourrais jamais me résigner à une vie dans laquelle on doit dire adieu à tout repos. […] Je deviens de plus en plus parisophobe »
— Lettre adressée à Berger datée du 13 janvier 1867, Bibliothèque municipale de Caen, Ms. in-4° 333, folio 37.Dès lors, Il rédige et publie ses cours et ses articles, dirige le Bulletin des sciences mathématiques, continue ses travaux de traductions, et participe activement à la vie de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Ses recherches et ses activités éditoriales l'amènent à créer un vaste réseau comprenant des mathématiciens de toute l'Europe avec qui il entretient des correspondances. Sa nécrologie rédigée par Gaston Darboux dans le Bulletin des sciences mathématiques témoigne d'une carrière brillante par ses productions écrites et ses recherches, bien connues de ses contemporains en France comme à l'étranger.
Enseignement et principes fondamentaux de la géométrie et de la trigonométrie
Il travaille à l'étude des principes fondamentaux de la géométrie et à l'enseignement de ces derniers. L’examen des traités de géométrie élémentaire existants ne le satisfont pas. Selon lui, il est nécessaire de remplacer les démonstrations indirectes par des démonstrations directes, de supprimer autant que possible les démonstrations par l’absurde et d'introduire l'idée de limite.
Hoüel propose une révision délicate des premières propositions d’Euclide. Il s'agit de distinguer d’une façon précise les axiomes d’ordre purement géométrique, de déterminer le rôle de l’expérience dans l’établissement et dans le choix de ces axiomes et enfin d'organiser un enseignement rationnel et progressif de la géométrie. Il publie en 1863 son étude dans Essai d’une exposition rationnelle des principes fondamentaux de la géométrie élémentaire. Cet ouvrage est ensuite publié sous une forme plus complète en 1867 et 1885 sous le titre d’Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, ou Commentaire sur les XXXII premières propositions d’Euclide.
L’existence d’un espace immobile et indéfini, où les corps peuvent être déplacés en conservant toutes leurs propriétés, est admise. La géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de l’invariabilité des figures. L’idée d’invariabilité de forme émane de l’expérience. L’hypothèse de l’invariabilité de figure ne peut être assise sur des expériences susceptibles d’une approximation indéfinie et présentant une certitude objective. Celle-ci est acceptée parce qu’elle paraît plus conforme aux impressions physiologiques et qu’elle explique de la façon la plus simple les phénomènes affectant les sens. Hoüel prend alors pour base les axiomes suivants :
Axiome I. - Trois points suffisent, en général, pour fixer dans l’espace la position d’une figure.
Axiome II. - Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans l’espace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne peut s’appliquer exactement sur une autre portion quelconque, dès que ces deux portions ont deux points communs.
Axiome III. - Il existe une surface telle qu’une ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu’une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu’on l’a retournée, en lui faisant faire une révolution autour de deux de ses points. Cette surface est le plan.
Il établit ces axiomes en faisant appel à l’expérience et en introduisant l’idée du mouvement, abstraction faite du temps employé à l’accomplir, c’est-à-dire l’idée de mouvement géométrique. L’idée de mouvement n’est pas plus complexe que celle de grandeur et d’étendue et c’est à la notion de mouvement qu’on doit l’idée de grandeur.
Hoüel discute la 20e proposition d’Euclide selon laquelle la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, proposition que de nombreux auteurs ont choisie comme définition de la ligne droite. Quoique cette vérité puisse être considérée comme une vérité d’expérience, elle est, au point de vue géométrique, assez complexe. Euclide démontre, au lieu de l’admettre, cette proposition qui comprend l’idée de grandeur et de comparaison de la ligne droite à tous les chemins possibles. Hoüel travaille alors à plusieurs reprises sur la définition de la longueur d’une courbe et y introduit les notions de limite et d’infiniment petit.
Le quatrième axiome qu’emploie Hoüel correspond au XIe axiome d'Euclide (dit Postulatum d'Euclide) :
Par un point donné on ne peut mener qu’une seule parallèle à une droite donnée. Dès 1863, Hoüel considère la démonstration de cet axiome comme impossible. Hoüel montre qu'il est possible de prendre un second axiome :