Joseph-Louis Lagrange (en italien Giuseppe Luigi Lagrangia ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ou Luigi De La Grange , ou encore Luigi Lagrange ), né à Turin le 25 janvier 1736 et mort à Paris le 10 avril 1813, est un mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français.
Professeur de mathématiques à l’Académie royale de Turin dès l’âge de dix-neuf ans, il y pose, en échangeant avec Leonhard Euler, les méthodes qui contribueront à fonder le calcul des variations. En 1766, à l’invitation de Frédéric II de Prusse, il succède à Euler à la direction de la section de mathématiques de l’Académie royale des sciences de Prusse à Berlin, où il poursuit ses travaux pendant une vingtaine d’années. En 1787, il s’installe à Paris et devient membre de l’Académie royale des sciences.
En 1788, il publie la Mécanique analytique, ouvrage dans lequel il reformule la mécanique classique sous une forme entièrement analytique, sans recours aux figures géométriques, et établit les équations aujourd’hui connues sous le nom d’équations de Lagrange. Il contribue également à donner au principe de moindre action une formulation analytique générale. Ses travaux portent aussi sur la théorie des équations algébriques, dont certains résultats préfigurent les idées qui seront au cœur de la théorie de Galois, ainsi que sur la théorie des nombres, l’analyse et la mécanique céleste. Dans ce dernier domaine, son étude du problème des trois corps conduit notamment à l’identification des solutions d’équilibre aujourd’hui désignées comme les points de Lagrange.
Sous la Révolution française, il participe aux travaux de la Commission des poids et mesures chargée d’établir le système métrique décimal et contribue à l’organisation de l’École centrale des travaux publics, future École polytechnique, ainsi qu’à celle de l’École normale de l’an III. Nommé sénateur en 1799 puis comte de l’Empire par Napoléon Ier en 1808, il meurt à Paris en 1813. Il est inhumé au Panthéon et, plus tard, son nom figure parmi les soixante-douze savants, ingénieurs et industriels inscrits sur la tour Eiffel.
Monsieur Lagrangia, le père du mathématicien, épouse Maria Teresa Gros, fille d'un médecin turinois, qui donne naissance le 25 janvier 1736 au premier de ses onze enfants, baptisé Giuseppe Luigi. Son père, en dépit de son rang, dispose de peu de moyens, ruiné avant la majorité de son premier enfant par certaines spéculations hasardeuses.
Giuseppe Luigi Lagrangia est un élève brillant du collège de Turin. Ses grandes passions sont les lettres classiques et le latin. Le physicien Giovanni Battista Beccaria lui apprend la physique et Filippo Antonio Revelli se charge de la géométrie. Ce sont eux qui l'initient à l'étude des sciences. L'étude des Éléments d'Euclide constitue son initiation aux mathématiques, mais il succombe bientôt aux charmes de la nouvelle science du calcul infinitésimal. Quand il a dix-sept ans, il semble que ce soit un bref article sur les applications de l'algèbre à l'optique, dû à l'astronome mathématicien anglais Edmond Halley (1656-1742), ami de Newton, qui l'initie aux joies de ce qu'on appelle alors « l'analyse », par opposition à « la synthèse », comme on nomme alors la méthode géométrique d'Euclide.
À dix-huit ans, Giuseppe Luigi, élève brillantissime, a déjà lu et assimilé Newton, d'Alembert , les Bernoulli et Euler, le tout en autodidacte. En moins d'un an, ses recherches commencent à porter leurs fruits : il est devenu un mathématicien de talent.
Le 23 juillet 1754, à peine âgé de dix-huit ans, le jeune Lagrangia envoie un bref mémoire au géomètre Giulio Fagnano (1682-1776). Son idée ambitieuse est de formaliser le calcul infinitésimal en utilisant le théorème binomial de Newton et son analogie, avec les dérivées successives du produit de deux fonctions.
En même temps, il envoie une lettre en latin exposant ses travaux à Euler, la première d'une longue et fructueuse correspondance avec le grand savant. Mais en août de la même année, Lagrangia, qui signe à présent « Luigi De la Grange Tournier » s'aperçoit que son résultat a déjà été démontré par Leibniz et Jean Bernoulli — ce qui le plonge dans une grande inquiétude —, mais il se remet au travail et, quelques mois plus tard, communique à Fagnano et Euler les nouveaux résultats qu'il a obtenus pour une courbe connue sous le nom de tautochrone et jette les bases du calcul variationnel. Euler est tellement enthousiasmé par cette nouvelle méthode, qu'il félicite son jeune collègue pour son travail et proclame que, selon lui, les idées de Lagrange représentent un sommet de perfection, de généralité et d'utilité. Le plus frappant dans la réponse d'Euler à Lagrange, c'est qu'à partir de ce moment, il traite le jeune homme comme étant intellectuellement son égal.
Quelques semaines après la réponse d'Euler, datée de septembre 1755, et alors que Lagrange n'a que dix-neuf ans, le duc de Savoie le nomme professeur de l'Académie royale pour la théorie et la pratique de l'artillerie de Turin.
Euler caresse l'idée de faire venir Lagrange à Berlin, mais Lagrange décline l'invitation en mai 1756. Euler — qui préside l'Académie de Berlin — va jusqu'à le nommer, sans lui demander son avis, membre étranger de l'institution. En 1757, Lagrange prend avec Giuseppe Angelo Saluzzo di Menusiglio et Giovanni Francesco Cigna l'initiative de créer la Società Scientifica Privata Torinese, société savante qui deviendra plus tard l’Académie des sciences de Turin. Presque tous les travaux publiés par Lagrange à Turin paraissent dans les mémoires de l'Académie, connus sous le nom de Miscellanea Taurinensia, tantôt en latin, tantôt en français, compilant ses premiers résultats sur l’application du calcul variationnel à des problèmes de mécanique (propagation du son, corde vibrante, etc.).
Ayant assis sa réputation et son prestige par ses publications et ses correspondances avec les plus grands mathématiciens du temps, Lagrange se fixe comme objectif la conquête de Paris. Il se propose de résoudre les problèmes, relatifs à la Lune, posés par l'Académie parisienne en 1762. En 1764, ses travaux sont récompensés par le Grand Prix de l’Académie des sciences de Paris. Cette même année, l'Académie de Paris propose un nouveau prix, demandant cette fois si les irrégularités des quatre satellites connus de Jupiter sont dues à leur attraction mutuelle. Une nouvelle fois, il remporte le prix de l'Académie.
Revenant de France au printemps 1764, Lagrange rend visite à Voltaire en exil à Ferney et dira de lui : « Un personnage qui mérite d'être connu ». De retour dans sa ville natale, il peut vérifier que la cour ne fait rien pour améliorer sa situation matérielle, en dépit de promesses aussi obséquieuses que répétées. À l'âge de trente ans, il habite toujours chez ses parents, sans perspective de changement.
À l'automne 1765, d'Alembert l'incite à accepter un poste à Berlin, il décline l'invitation « tant que Monsieur Euler s'y trouvera ». En 1766, Euler accepte l'invitation de Catherine II de Russie à venir renforcer le prestige de la nouvelle Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, et Frédéric II lui-même lui fait une proposition intéressante, avec les mots suivants : « Mon désir est que le plus grand roi d'Europe puisse compter parmi sa Cour le plus grand mathématicien d'Europe ». Il lui propose d'occuper le poste de directeur de la section de mathématiques de l'Académie royale des sciences de Prusse laissé vacant par Euler. Le roi de Sardaigne lui fait part de son déplaisir, mais Lagrange quitte pour toujours son pays natal le 21 août 1766 et prend le chemin d'une nouvelle vie.
Si les dix premières années de Lagrange à Berlin sont particulièrement fécondes, les années suivantes sont marquées par des drames personnels. En septembre 1767, Lagrange épouse une de ses cousines, Vittoria Conti, qu'il connaît depuis l'enfance. Dans une lettre à d'Alembert, il la décrit comme une femme industrieuse et « sans prétentions » — ce qui était sans doute une vertu à ses yeux —, dans la même lettre il déclare qu'il n'a pas l'intention d'avoir des enfants. En raison d'ennuis de santé, en 1770, il se retire des concours biennaux de l'Académie de Paris.