Hermann Weyl (/vaɪl/), né le 9 novembre 1885 à Elmshorn et mort le 8 décembre 1955 à Zurich, est un mathématicien et physicien théoricien allemand du XXe siècle.
Il fut le premier, dès 1918, à combiner la relativité générale avec l'électromagnétisme en développant la géométrie de Weyl (ou géométrie conforme) et en introduisant la notion de jauge. L'invariance de jauge est à la base du modèle standard et reste un ingrédient fondamental pour la physique théorique moderne. Ses recherches en mathématiques portèrent essentiellement sur la topologie, la géométrie et l'algèbre. Weyl publia également de nombreux travaux sur l'espace, le temps, la matière, la mécanique quantique, la philosophie, la logique, la théorie des nombres et l'histoire des mathématiques.
Hermann Klaus Hugo Weyl naît à Elmshorn, à proximité de Hambourg en Allemagne, au sein d'une famille de confession luthérienne dont les membres parlent entre eux le bas allemand, qu'Hermann affectionnait tout particulièrement. Son père dirige une petite banque, de son enfance et de sa jeunesse on connaît peu de choses. Entre 1891 et 1894, il va à l'école Bismarck, à Elmshorn. Entre Pâques 1895 et Pâques 1904, il complète ses études pré-universitaires au collège Christianeum de la ville voisine d'Altona. À l'adolescence, faisant preuve d'intérêt et d'aptitude pour les sciences, Weyl s'emploie aussi à lire et à comprendre par ses propres moyens la Critique de la raison pure (1781) d'Emmanuel Kant, ouvrage dont une thèse l'impressionne énormément : l'espace et le temps sont des aptitudes à capter l'intuition des objets matériels, plus que des moyens objectifs dans lesquels (espace) et durant lesquels (temps) ces objets ont leurs coordonnées.
En 1904, à l'arrivée de Weyl à l'université de Göttingen, l'atmosphère ne peut pas y être plus stimulante. Non seulement David Hilbert y exerce son génie, mais Felix Klein et Hermann Minkowski y rayonnent à ses côtés. Grâce à ces trois personnalités et à de nouvelles recrues, comme Carl Runge en 1904, Göttingen est en train de ravir à Berlin le leadership des mathématiques allemandes. Weyl y demeure de 1904 à son départ pour la Suisse en 1913, où il intègre l'École polytechnique fédérale de Zurich. Il ne s'éloigne de Göttingen que durant le second semestre de 1904-1905 et le premier de 1905-1906 pour étudier à l'université de Munich. C'est un étudiant brillant, ce qui explique sans doute que Hilbert et Minkowski dirigent sa thèse doctorale Équations intégrales singulières, avec une attention particulière pour le théorème de l'intégrale de Fourier. Prête dès décembre 1907, cette thèse est soutenue en 1908. Sur le même sujet, il soumet sa thèse d'habilitation en 1910 et obtient un poste d'enseignant comme privat-docent à Göttingen la même année. Après le décès subit de Minkowski en 1909, Hilbert lui demande de l'aider à éditer les travaux scientifiques du défunt. Ce travail académique, ainsi que le nombre et la variété de séminaires mathématiques qui se tiennent à Göttingen à cette époque, aident à mieux comprendre l'éclectisme de la recherche de Weyl. En philosophie, il suit les cours d'Edmund Husserl.
Habilité en qualité de professeur à Göttingen, il consacre l'année universitaire 1911-1912 à dispenser un cours sur la théorie des fonctions selon Riemann, et décide de mettre en forme les notes de ce cours, qu'il publie sous le titre Le concept de surface de Riemann. L'année 1913 est décisive dans la vie de Weyl ; au début de l'année universitaire 1913-1914, il est transféré de l'université de Göttingen à l'École polytechnique fédérale de Zurich (Suisse), où une chaire de mathématiques lui est offerte. C'est enfin celle de son mariage avec Helena Joseph, une jeune fille si intelligente et si belle qu'en certaines occasions son père avait menacé de lui interdire de poursuivre ses études[pas clair]. Ils auront deux fils, Fritz Joachim Weyl et Michael Weyl, tous deux nés à Zurich.
Weyl et Einstein font connaissance à l'École polytechnique, où tous deux enseignent. À l'époque, Einstein travaille à une version de la théorie de la relativité comprenant en son sein le champ gravitationnel. La Première Guerre mondiale ayant éclaté en août 1914, Weyl est appelé sous les drapeaux en mai 1915 mais, démobilisé l'année suivante pour raison de santé, il peut reprendre ses travaux scientifiques à Zurich. Il envisage alors d'aborder des questions de géométrie algébrique. L'annonce, en 1916, de la publication de l'article d'Einstein intitulé Les fondements de la théorie générale de la relativité, attire son attention sur cette question, qui le fascine. Son intérêt pour la théorie de la relativité l'amène à dispenser, durant le semestre estival 1917, un cours sur la question, qu'il publie en 1918 sous le titre Espace, temps, matière, reconnu comme la première exposition systématique de la théorie générale de la relativité, et à propos duquel Einstein affirme qu'il s'agit d'un « chef-d'œuvre symphonique ». En apportant des modifications aux travaux d'Einstein, il va s'en servir pour proposer un nouveau cadre pour la physique, baptisé théorie de jauge ou de calibration de l'espace-temps, dans lequel entrent tout naturellement la théorie du champ gravitationnel d'Einstein et l'électromagnétisme de Maxwell.
Durant les dix premières années passées à Zurich, de 1913 à 1923, Weyl poursuit ses recherches entamées à Göttingen et développe ses propres idées en matière de théorie de la relativité, mais il publie également ses travaux les plus importants sur les fondements des mathématiques, une discipline comprenant la logique mathématique et la philosophie des mathématiques. Dans le domaine de la logique mathématique, il publie en 1918 son ouvrage Le Continu, recherches critiques sur les fondements de l'analyse, où il aborde la construction du système des nombres réels, qui forment une totalité continue, à partir des systèmes naturels, entiers et rationnels, qui forment des totalités discrètes. Dans le domaine de la philosophie des mathématiques, il publie en 1921 son fameux article « Sur la nouvelle crise des fondements des mathématiques », un manifeste en faveur de l'intuitionnisme. Peu après toutefois, il abandonne ce courant et revient au constructivisme modéré de son précédent livre.
Vers 1923, ses recherches sur la relativité l'amènent à s'intéresser à l'algèbre, en particulier à la théorie des groupes. En outre, durant cette période, Weyl approfondit les fondements des sciences. En particulier, ses recherches antérieures sur les fondements des mathématiques sont suivies par d'autres, relatives aux bases des sciences naturelles, qui produisent les ouvrages Analyse mathématique du problème de l'espace (1923), Qu'est-ce que la matière ?(1924) et Philosophie des mathématiques et des sciences naturelles (1927), ce dernier ayant un grand retentissement. En 1921, il rencontre le physicien Erwin Schrödinger, avec qui il noue immédiatement et jusqu'à sa mort des liens d'amitié, que ne parviennent pas à entamer sa liaison avec l'épouse de Schrödinger, tandis qu'Helena Weyl s'attache[C'est-à-dire ?] à d'autres académiciens et artistes de Zurich[réf. souhaitée]. Entre 1925 et 1926, il publie trois articles importants dans la revue allemande Mathematische Zeitschrift dans lesquels il parvient à calculer les représentations et les caractères irréductibles de tous les groupes de Lie compacts semi-simples, une classe très importante de groupes infinis comptant de nombreuses applications en géométrie et en physique. Ce travail connaît son apogée en 1927 avec un article écrit avec un de ses élèves, Fritz Peter, et publié dans les Mathematische Annalen, contenant un résultat connu sous le nom de théorème de Peter-Weyl. Après avoir étudié les contributions de Schrödinger et Werner Heisenberg, il se prend de passion pour la mécanique quantique. Au second semestre de l'année scolaire 1927-1928, il tient à l'École polytechnique fédérale un séminaire sur le sujet, dont les transcriptions donnent lieu en 1928 à la publication d'un ouvrage renommé, La théorie des groupes et la mécanique quantique, sur les fondements mathématiques de cette théorie. Cette même année, il participe en qualité de conférencier principal au Congrès international de mathématiques de Bologne. Sa conférence porte, bien évidemment, sur la théorie des représentations de groupes continus.