Georg Cantor est un mathématicien allemand, né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg (Empire russe) et mort le 6 janvier 1918 à Halle (Empire allemand). Il est connu pour être le créateur de la théorie des ensembles.
Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.
Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker.
Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée. Les accès de dépressions récurrents de Cantor, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès sont à présent souvent interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire.
Au XXIe siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de paradigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé. »
Georg Cantor est né en 1845 à Saint-Pétersbourg où son père, Georg Waldemar Cantor, homme d'affaires danois est courtier à la bourse de la ville, d’origine juive ashkénaze, mais converti au protestantisme et fervent luthérien. Sa mère, Maria Anna Böhm, de nationalité autrichienne, est issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage. Le grand-père maternel de Georg Cantor, Franz Böhm (1788-1846), frère aîné du violoniste hongrois Joseph Böhm, était violoniste et soliste réputé de l’orchestre de l'Opéra impérial de Saint-Pétersbourg.
Georg Cantor fut élevé dans la foi luthérienne, qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle.
Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins rigoureux que ceux de Saint-Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite à Francfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme avec félicitations à la Realschule de Darmstadt où l'on remarqua ses qualités exceptionnelles en mathématiques, notamment en trigonométrie. En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich où il entama des études supérieures en mathématiques.
En 1863, à la mort de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse portant sur la théorie des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis.
Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor accepta en 1870 un poste à l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation requise grâce à un mémoire sur la théorie des formes quadratiques à trois variables, soumis en 1869 ; il fut promu professeur extraordinaire (une position analogue à celle d'un maître de conférences) en 1872.
En 1872, Cantor fit la connaissance de Richard Dedekind lors d'un voyage en Suisse. Cela devait être le point de départ d'une relation suivie qui devait jouer un rôle décisif dans le développement de la théorie des ensembles de Cantor. Leur correspondance, qui s'étale de 1872 à 1889, en est un témoignage précieux.
Eduard Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable réelle comme série de fonctions trigonométriques. Intéressé par ce problème, Cantor obtint l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, il s'attacha à définir l'ensemble des points de discontinuité de ces fonctions, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi qu'il commença à s'interroger sur l'infini.
En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik, où il donna la première démonstration que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.
Toujours en 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Malgré un modeste salaire académique, Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de sa famille grâce à l'héritage de son père[réf. nécessaire].
Hostilités entre Cantor et Kronecker
En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini comme une entité : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l'œuvre de l'homme ». Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une construction explicite d'un tel objet.
En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de Halle. Atteindre le plus haut rang à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Or, Kronecker, qui ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue, était précisément à la tête du secteur des mathématiques à Berlin, et il le resta jusqu'à sa mort en 1891.
En 1881, la mort d'Eduard Heine, collègue de Cantor de l'université de Halle, laissa une chaire inoccupée. À la suggestion de Cantor, l'université proposa la chaire à Dedekind, Heinrich Weber et Franz Mertens (dans cet ordre), mais tous déclinèrent l'offre. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur de faible niveau et portait une lourde charge administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département de mathématiques de l'université de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.