Felix Christian Klein, né le 25 avril 1849 à Düsseldorf et mort le 22 juin 1925 à Göttingen est un mathématicien allemand, connu pour ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne, et en analyse. Il a aussi énoncé le très influent programme d'Erlangen, qui ramène l'étude des différentes géométries à celle de leurs groupes de symétrie respectifs.
Felix Klein naît le 25 avril 1849, date au sujet de laquelle il aimait faire remarquer sa composition de trois carrés de nombres premiers (5, 2 et 43), à Düsseldorf, siège du gouvernement provincial de la Rhénanie prussienne et important centre industriel du royaume de Prusse. À la différence d'autres régions de Rhénanie, Düsseldorf est principalement protestante, comme la famille Klein. Son père, Caspar, homme aux idées strictement conservatrices, est secrétaire du gouverneur provincial. Après une éducation élémentaire dispensée par sa mère, Élise, Felix est admis à l'âge de six ans dans un collège privé qu'il quitte deux ans et demi plus tard et rentre, en 1857, à la demande de son père, au gymnasium de Düsseldorf. Conformément au modèle d'éducation prussien, une grande attention est accordée essentiellement au latin et au grec, beaucoup moins à la formation mathématique. Comme il porte un grand intérêt aux disciplines scientifiques, des amis de la famille se chargent de compléter son éducation mathématique. À l'âge de seize ans, il intègre l'université de Bonn. Il veut être physicien et, très vite, il attire l'attention de Julius Plücker, qui dirige alors le département de physique et mathématiques de l'université. En 1866, il devient ainsi son assistant au laboratoire de physique. Après de nombreuses années consacrées à la physique, Plücker commence, au moment où il fait la connaissance de Klein, à s'intéresser à la géométrie. En 1868, il publie d'ailleurs le premier tome de Neue Geometrie des Raumes, fondée sur une conception de la ligne droite comme objet fondamental de l'espace. Dans ses travaux, Plücker utilise l'idée de la quatrième dimension. Klein passe son doctorat en 1868, sous la direction de Plücker et Lipschitz. Plücker meurt cette même année, laissant derrière lui un livre inachevé sur la géométrie des droites projectives (voir coordonnées plückeriennes). Felix Klein perd son poste d'assistant du laboratoire de physique à l'université de Bonn, mais il est la personne la mieux placée pour compléter la seconde partie. Désormais âgé de dix-neuf ans, il réoriente sa formation vers les mathématiques, sans pour autant en perdre de vue les applications dans le domaine de la physique.
Immédiatement invité par Alfred Clebsch à l'université de Göttingen, il quitte Bonn afin d'y compléter l'édition du second volume de géométrie que son précédent mentor a laissé inachevé. La minutieuse étude que Klein entreprend afin de publier le travail commencé par Plücker lui sert d'inspiration pour écrire une première série d'articles indépendants, contribuant à son propre développement en tant que mathématicien. Aux côtés de Clebsch, il apprend le concept d'« invariant géométrique ». En effet, Clebsch travaille à la théorie des invariants, développée par des mathématiciens britanniques tels que George Boole, Arthur Cayley et James Joseph Sylvester.
À Göttingen, auprès de Clebsch, Klein trouve une atmosphère propice à sa formation. Néanmoins, il éprouve la nécessité de découvrir d'autres écoles et courants mathématiques. Il se rend à Berlin à l'automne 1869 pour assister aux séminaires organisés par Karl Weierstrass et y croise d'autres jeunes mathématiciens qui auront plus tard une grande influence sur ses travaux, dont l'Autrichien Otto Stolz et le Norvégien Sophus Lie. Par contre, sa rencontre avec Karl Weierstrass est moins plaisante, les relations entre Weierstrass et Klein seront marquées par l'absence de communication et de compréhension.
Encouragé par Clebsch, qui est en contact avec Camille Jordan dont Klein connaît les travaux, il prend la route de Paris en compagnie de Sophus Lie au cours de l'été 1870. Ils prennent contact avec Jordan et Gaston Darboux, des liens interrompus le 19 juillet par la guerre franco-allemande de 1870. Klein retourne en Allemagne où il sert un temps dans l'armée prussienne avant d'être habilité à enseigner en tant que Privatdozent à Göttingen en 1871.
La même année, il publie dans Mathematische Annalen la première partie de l'article intitulé « Sur la géométrie dite non euclidienne », dont la seconde partie paraîtra deux ans plus tard. Dans ce premier essai, il démontre qu'il est possible de considérer les géométries euclidienne et non euclidienne comme des cas particuliers de la géométrie projective.
En 1872, à l'âge de 23 ans, Klein obtient une chaire à l'Université d'Erlangen grâce à l'aide providentielle de Clebsch, qui voit en lui l'un des futurs plus grands mathématiciens de son temps. Selon la coutume, il doit donner une conférence inaugurale. Il prépare un texte qui circule initialement entre un nombre restreint de lecteurs, sous le titre de Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Il s'agit du fameux Programme d'Erlangen dans lequel il propose un point de vue révolutionnaire sur la géométrie. Bien que ses qualités d'enseignant soient appréciées à Erlangen, il n'a au début que deux élèves dans sa classe.
Dans un premier temps, le Programme d'Erlangen n'est pas bien accueilli, sans doute parce que le manuscrit n'a pas bénéficié d'une large diffusion. Félix Klein ne reste que trois ans à Erlangen — il n'a pas beaucoup d'élèves —, mais a assez de temps à consacrer à la recherche. En 1872, Clebsch succombe à la diphtérie à l'âge de 39 ans. Klein s'occupe alors de la publication de la revue Mathematische Annalen — responsabilité qu'il assumera presque jusqu'à la fin de sa vie — et parvient à en faire la plus importante publication mathématique de l'époque, ce qui contribue à renforcer son aura scientifique à l'échelle internationale. En 1875, une nouvelle chaire lui est proposée à Munich.
Il est heureux de se voir offrir une chaire à la Technische Hochschule de Munich en 1875. Cette même année, il épouse Anne Hegel (1851-1927), petite-fille du philosophe Hegel, « entamant ainsi une vie rangée », comme il l'écrit des années plus tard. L'idéalisation et la construction de modèles mathématiques sont une activité que Félix Klein a pratiquée bien avant de créer la fameuse surface qui porte son nom. À Munich, il rencontre le mathématicien Alexander von Brill, qui partage sa passion pour les modèles mathématiques. Ensemble, ils fondent un laboratoire pour développer ce type de modèles. Leur construction fait partie du travail du Séminaire de mathématiques qu'ils organisent, et de nombreux étudiants y contribuent en concevant des modèles qu'ils utilisent dans leurs mémoires. À l'université de Munich, il enseigne les mathématiques à des élèves ingénieurs. Il doit également donner des cours de géométrie à de futurs professeurs de mathématiques tels que Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi et Gregorio Ricci-Curbastro. Tout en s'occupant de ses nombreux élèves, il continue de travailler sur l'algèbre et la théorie des variables complexes. Il développe ainsi son point de vue géométrique de la théorie de Galois et prépare la voie à ce qui sera, selon ses propres mots, sa contribution la plus profonde et originale à la discipline : la théorie des fonctions automorphes. Cinq ans plus tard, en 1880, Klein obtient une chaire de géométrie à l'université de Leipzig, une des plus prestigieuses d'Allemagne, mais dont la faculté de mathématiques manque sérieusement de dynamisme. Il y poursuit ses travaux sur la théorie des groupes, la géométrie et les « fonctions automorphes », un type spécial de fonctions complexes d'une variable complexe, exploré aussi par Henri Poincaré. Très vite, Poincaré fait de tels progrès que Klein a quelque mal à suivre la cadence. Une rivalité s'instaure entre eux pour savoir qui obtiendra les résultats les meilleurs et les plus nombreux, compétition dont Klein finit par faire les frais. Après la publication, en 1882, de quelques-unes de ses découvertes sur les surfaces de Riemann, il tombe dans une dépression profonde, imputable au surmenage. Jusqu'en 1884, il abandonne, dès lors, les avant-postes de la recherche mathématique, mais d'autres domaines l'accaparent et il s'y consacre avec ardeur. Un des premiers travaux auxquels il se consacre après sa convalescence est de reprendre l'étude des solutions de l'équation du cinquième degré, en mettant à contribution les symétries de l'icosaèdre, la théorie de Galois et les fonctions modulaires elliptiques, déjà présentes dans la solution de Charles Hermite et qui constituent un type particulier de fonctions automorphes, une catégorie de fonctions sur lesquelles lui-même et Poincaré s'étaient penchés si intensément des années auparavant.