Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le 17 septembre 1826 à Breselenz, royaume de Hanovre, mort le 20 juillet 1866 à Selasca, hameau de la commune de Verbania, royaume d'Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et au calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale.
Bernhard Riemann est né à Breselenz, un village du royaume de Hanovre. Son père, Friedrich Bernhard Riemann, pasteur luthérien, a combattu dans l'armée napoléonienne.
Sa mère, Charlotte Ebell, décède avant que ses enfants n'atteignent l’âge adulte. Cette perte, ajoutée à des conditions de vie difficiles, marque profondément la famille Riemann, qui souffre toute sa vie de sévères privations.
Comme Bernhard en témoigne plus tard, son enfance, partagée avec son frère et ses quatre sœurs, bien que pleine d'amour, est marquée par le manque de nourriture et de soins médicaux. Ces carences semblent avoir contribué au décès prématuré de Bernhard, mort de la tuberculose, ainsi qu’à celui de son frère et de ses sœurs, tous disparus à un âge similaire.
Dans un premier temps, les enfants Riemann reçoivent un enseignement primaire à domicile. Bernhard se distingue rapidement par un talent exceptionnel pour les mathématiques : il résout sans difficulté tous les problèmes arithmétiques que lui propose son père, tout en inventant lui-même des problèmes toujours plus complexes et variés.
Lorsque Bernhard a dix ans, son père engage un professeur particulier pour lui enseigner la géométrie et l'arithmétique.
En 1840, Bernhard s’installe à Hanovre pour vivre chez sa grand-mère et fréquenter le Lyceum (collège), qu'il intègre directement en troisième année.
Après le décès de sa grand-mère en 1842, il part à Lunebourg pour poursuivre ses études secondaires.
Au Johanneum Gymnasium ses professeurs (lycée), sont étonnés par ses capacités exceptionnelles à résoudre des problèmes complexes en mathématiques. Riemann découvre les mathématiques supérieures grâce à son professeur, Schmalfuss, qui lui offre un accès libre à sa bibliothèque personnelle.
En 1846, à l'âge de 19 ans, Bernhard intègre l’université de Göttingen grâce au soutien financier de sa famille. Il y commence des études en philosophie et théologie dans l’objectif de devenir pasteur pour subvenir aux besoins de sa famille. Bien qu’il étudie la Bible avec intensité, il est irrésistiblement attiré par les mathématiques. Après avoir assisté aux cours de Carl Gauss, il ne peut ignorer sa vocation et demande l’autorisation de son père pour se consacrer pleinement aux mathématiques.
Riemann excelle à université de Göttingen, mais il y reste peu de temps. En 1847, il rejoint l’université Humboldt de Berlin afin de compléter sa formation dans des disciplines pour lesquelles Göttingen manque de professeurs compétents. À Berlin, il suit les enseignements de prestigieux mathématiciens tels que Jacobi, Steiner et Dirichlet.
En 1849, il retourne à Göttingen, où il commence sa thèse de doctorat, sous la direction de Gauss. En décembre 1851, il soutient sa thèse intitulée Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse qui pose les bases de la topologie moderne et fait l'unanimité du jury.
Gauss dit de lui, après la soutenance de sa thèse « La dissertation présentée par Monsieur Riemann démontre de façon convaincante que celui-ci a effectué des recherches minutieuses et approfondies sur les parties du thème traitées dans la dissertation, qu'il est doué d'un esprit créatif, véritablement mathématique, et qu'il possède une originalité admirable et féconde ».
Sa carrière scientifique ne dura qu'un peu plus de dix ans : elle débute en 1849, lorsqu'il commence sa thèse doctorale, et se termine prématurément au début des années 1860, avec la rédaction de ses derniers articles. Au début des années 1850, le souhait le plus cher de Riemann est de devenir professeur de mathématiques ou de physique à l'université de Göttingen. Dans ce but, il doit produire un travail supplémentaire appelé Habilitationsschrift qui consiste à effectuer des recherches préliminaires sur trois sujets très différents les uns des autres qu'il choisit lui-même. Au tout début de 1854, il est en mesure de communiquer à son maître — Carl Gauss — ses premier, deuxième et troisième choix. Gauss voit d'emblée que la troisième proposition — une reformulation de la géométrie — contient en germe une idée importante et innovante à laquelle il avait déjà réfléchi, même s'il n'avait jamais rien publié à ce sujet. En soutenant cette thèse le 10 juin 1854, Riemann fonde la géométrie riemannienne qui servira de cadre mathématique à la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein.
Après avoir soutenu sa thèse d'habilitation en 1854, Riemann prend du repos à Quickborn où il vit toujours avec ses parents, son frère et certaines de ses sœurs. En septembre, il commence à travailler à l'université de Göttingen en qualité d'enseignant rémunéré. Il est désormais en mesure, malgré ses faibles revenus, d'aider financièrement tous les membres de sa famille. Le 23 février 1855, Gauss décède ; preuve du respect que Riemann a gagné à Göttingen, certains collègues suggèrent qu'il reprenne la chaire du mathématicien allemand, mais la chaire est proposée à Dirichlet, qui l'accepte et quitte Berlin pour occuper son nouveau poste. Riemann obtient cependant un salaire régulier et poursuit ses recherches en physique. Il publie en 1855 un article sur « La théorie des anneaux colorés de Nobili » et, peu de temps après, il est atteint de surmenage, souffre de dépression nerveuse et doit, sur avis médical, passer quelques mois de repos dans la région montagneuse du Harz. En 1857, il réintègre l'université.
Le 30 juillet 1859, à la suite de la mort de Dirichlet, il est promu à la tête du département de mathématiques de l'université de Göttingen. Peu de temps après, il est élu membre de l'Académie des sciences de Berlin.
En juin 1862, il épouse Elise Koch, une amie proche de ses sœurs. En juillet 1862, il contracte une pleurite qui évolue rapidement en tuberculose. Sa santé ne s'améliorant pas avec le temps, il se rend avant l'hiver en Italie où il recouvre quelque peu la santé. En mars 1863, il retourne à Göttingen pour y reprendre ses devoirs académiques mais il est contraint de repartir quelques mois plus tard dans la péninsule italienne. Durant ce nouveau séjour méditerranéen, naît sa fille Ida.
Deux ans plus tard, en octobre 1865, Riemann revient pour la dernière fois de sa vie à Göttingen. Il se réunit avec quelques-uns de ses collègues et met de l'ordre dans ses affaires avant de retourner en Italie. Il quitte Göttingen avant que les armées de Hanovre et de Prusse s'affrontent en 1866. Il meurt de tuberculose en Italie, à Selasca (aujourd'hui un hameau de Verbania sur le lac Majeur), où il est enterré au cimetière de Biganzolo (Verbania).