Arthur Cayley (16 août 1821 - 26 janvier 1895) est un mathématicien britannique. Il fait partie des fondateurs de l'école britannique moderne de mathématiques pures.
C'est à la faveur d'une visite estivale de ses parents, Henry Cayley (1768-1850) et Maria Antonia Doughty (1794-1875), qui résident alors en Russie, à Saint-Pétersbourg, qu'Arthur Cayley naît en Angleterre, à Richmond, comté de Surrey, plus précisément. La famille paternelle d'Arthur est originaire de Normandie, un aïeul, Osborne de Cailly, ayant été l'un des seigneurs engagés dans l'invasion normande de l'Angleterre en 1066. Commerçant avec la Russie, le grand-père d'Arthur, John Cayley, s'établit à Saint-Péterbourg et son fils Henry devient un membre éminent de la communauté britannique locale. En 1814, Henry Cayley épouse Maria Antonia Doughty, sa cadette de vingt-six ans, qui lui donne cinq enfants: Sophia, William-Henry, Arthur, Charles Bagot et Henrietta-Caroline. À l'instar d'autres familles de commerçants britanniques, les époux Cayley décident que leurs enfants seront éduqués à demeure, par des tuteurs. Cette éducation comprend l'apprentissage du français, la langue de la diplomatie et du commerce employée dans la ville russe, et dont Arthur fera usage toute sa vie pour lire et publier des articles mathématiques. En 1828, lorsque la famille d'Henry Cayley rentre définitivement en Grande-Bretagne, elle s'installe dans le quartier de Regent's Park, à Londres. Arthur a alors sept ans.
En 1831, à l'âge de dix ans, Arthur est envoyé dans un collège anglican privé, qui accueille des élèves entre huit et quinze ans prédisposés à intégrer les écoles senior d'éducation secondaire. Depuis la prime enfance, Arthur fait montre de belles aptitudes pour les mathématiques, avec une affection toute particulière pour les calculs arithmétiques. En août 1835, âgé de quatorze ans, le jeune Arthur est admis au département senior du tout récent King's College de Londres où il y a une chaire de mathématiques, occupée par le révérend Thomas G. Hall. Ancien étudiant de Cambridge, celui-ci a rédigé plusieurs ouvrages de référence, tels que le Traité sur le calcul différentiel et intégral (1839), et il initie Cayley sur les questions avancées des mathématiques. La première année d'études, Hall lui propose un cursus qui englobe « toutes les branches des mathématiques généralement enseignées à l'université ».Durant la deuxième année, Cayley découvre les sections coniques, les applications de l'algèbre en géométrie, la trigonométrie sphérique et les trois premières sections des Principia de Isaac Newton. Enfin, durant la troisième année, il se familiarise avec les équations différentielles et les parties analytiques de l'hydrodynamique, de l'optique et de l'astronomie.
La présence d'Arthur Cayley a marqué les esprits au King's College, où il remporte des prix en mathématiques, littérature anglaise, français, études classiques et histoire. En 1838, il reçoit la médaille d'argent de chimie, récompense d'ordinaire réservée aux étudiants universitaires. Le directeur du King's College et évêque de Chichester invite son père à lui permettre de développer ses talents mathématiques. Arthur est alors envoyé à l'université de Cambridge.
La rentrée au Trinity College de l'université de Cambridge a lieu en octobre 1838. Âgé de dix-sept ans seulement, Arthur Cayley est le plus jeune étudiant. Son tuteur de première année se nomme George Peacock, un des fondateurs de l'Analytical Society. Arthur doit assister aux cours de Peacock, où il apprend l'algèbre tirée de Treatise on Algebra, ponctué de références aux mathématiques continentales et à l'importance d'appliquer l'algèbre à la géométrie, soit deux constantes de la recherche mathématique future de Cayley. Dès sa jeunesse, Arthur est un lecteur infatigable. Parmi les ouvrages de mathématiques qu'il emprunte à la bibliothèque Wren du Trinity College, on trouve Géométrie descriptive (1798) de Gaspard Monge, Éléments de géométrie (1794) d'Adrien-Marie Legendre, Mécanique analytique (1811) de Joseph-Louis Lagrange, Théorie analytique des probabilités (1812) de Pierre-Simon de Laplace et Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral (1797-1798) de Sylvestre-François Lacroix. Les années suivantes, il se repaît des œuvres mathématiques les plus remarquables, écrites par des spécialistes continentaux, notamment Augustin Louis Cauchy ou Joseph Fourier. Toujours dans la classe des élèves les plus avancés, Arthur Cayley remporte le prix du Collège et, très vite, étudiants et professeurs le considèrent comme un des candidats au titre de senior wrangler, titre qu'il remporte à l'issue de l'examen du Senate House de 1842.
Son diplôme de Bachelor of Arts de Cambridge obtenu, il se propose de devenir membre de Trinity College et dispose de trois années pour transformer son Bachelor of Arts en Master of Arts. Durant trois ans, il officie comme tuteur adjoint à Trinity College, et est élu en avril 1842 membre d'une société scientifique, la Cambridge Philosophical Society, fondée en 1819 « dans le but de soutenir la recherche scientifique ». Il remporte le prix Smith décerné en 1842. En septembre 1842, il passe brillamment l'examen d'accession au poste de membre junior de Trinity College, devenant ainsi le plus jeune lauréat du XIXe siècle. C'est au cours de cette première étape en qualité de membre de Trinity College (1842-1846) que le chercheur qui sommeille en lui se révèle pleinement. Il écrit trois articles en 1842, huit en 1843, quatre en 1844 et treize en 1845, et étudie les fonctions elliptiques, l'algèbre symbolique, les courbes et les surfaces, la géométrie analytique, la théorie d'intégration et les déterminants. Parmi les articles rédigés en 1843 et édités au CMJ, figurent « Sur l'intersection des courbes », « Sur le mouvement de rotation d'un solide rigide » et « Démonstration du théorème de Pascal ». Il donne également lecture de son premier article, « Sur la théorie des déterminants » à l'occasion d'une rencontre de la Cambridge Philosophical Society.
Sa production scientifique s'accroît rapidement et, s'il commence dès 1843 à publier aussi dans le Philosophical Magazine (PhM), il aspire à multiplier les collaborations avec d'autres revues. Du reste, l'étape suivante de sa carrière devant consister à faire connaître ses recherches aux mathématiciens du continent, il lui faut s'imposer auprès des revues européennes, dont les deux plus importantes sont Le Journal de Crelle allemand et le Journal de Liouville français. En juillet 1844, le physicien et mathématicien irlandais William Rowan Hamilton publie la première partie de son article « Sur les quaternions, ou sur un nouveau système d'imaginaires en algèbre » (PhM, 1844-1850), dans lequel sont introduits les nombres appelés quaternions. En juin 1845, lors de la réunion annuelle de la British Association for the Advancement of Science, le mathématicien John Herschel, dans son discours d'ouverture en qualité de président, cite explicitement Cayley et sa recherche sur de nouvelles structures algébriques. En juillet 1845 enfin, il est élu membre senior de Trinity College. Arthur Cayley est enfin membre de plein droit du Trinity College de l'université de Cambridge et est le seul à pouvoir se qualifier de « pur mathématicien » au sein de l'institution. En août, il effectue un voyage en Scandinavie, puis à Berlin il rencontre les mathématiciens Jakob Steiner, Lejeune Dirichlet et Jacob Jacobi. De retour à Cambridge en octobre, il est élu membre du conseil de la Cambridge Philosophical Society. Pourtant, en avril 1846, il décide de quitter le Trinity College. Profondément anglican et ne doutant pas de sa foi, il n'a cependant nulle envie de devenir pasteur de l'Église anglicane. Pour lui, seules importent les mathématiques, la recherche et les publications. Hors de question pour lui que le sacerdoce l'éloigne de cette voie.
À l'époque, le monde des lois était un autre débouché habituel des diplômés, en particulier pour les scientifiques qui devaient s'assurer une certaine sécurité financière pour poursuivre leurs recherches. Telle est l'option que choisit Arthur Cayley, qui intègre le Collège d'avocat de Lincoln en avril 1846. Il a pour professeur Jonathan H. Christie, pour lequel la condition de senior wrangler de son aspirant est un passeport largement suffisant. Il y mène une vie axée sur l'apprentissage du métier d'avocat, sans négliger pour autant la recherche scientifique. Il continue de travailler sur les fonctions elliptiques, les courbes et les surfaces algébriques, la théorie des invariants et ses applications en géométrie, ainsi que les déterminants. durant toutes ces années, il reste en contact étroit avec William Thomson (Lord Kelvin), son ami depuis Cambridge, et George Boole. Sous forme épistolaire, ils échangent sur des questions liées à leurs recherches communes, notamment la théorie de l'intégration, l'optique ou les équations différentielles de la dynamique. Il se forme autour d'Arthur Cayley un petit groupe de mathématiciens dont il est le lien. Outre Boole, qui vit à Cork (Irlande) et James Joseph Sylvester, à Londres, Thomas Kirkman, de Lancaster, et George Salmon à Dublin rejoignent ce groupe. La collaboration scientifique entre eux demeure très étroite, ils réfléchissent et discutent de leurs recherches, partagent idées et conjectures, et s'épaulent quand ils rencontrent des problèmes. Mais Cayley ne néglige pas pour autant le droit. Durant l'été 1849, ayant reçu le titre d'avocat, il devient membre de la Société du Collège d'avocats de Lincoln où il concilie de 1849 à 1863, ses recherches avec le travail légal. C'est de cette époque que, du statut de jeune mathématicien formé à Cambridge, il passe à celui de scientifique confirmé et reconnu par la communauté scientifique britannique. Pendant toutes ces années, il publie aussi près de 250 articles, dont certains parmi les plus importants de sa production scientifique. Avec James Sylvester et George Salmon, il fait de la théorie des invariants un des thèmes majeurs de la recherche mathématique de l'époque. Puis il entame son imposante série de mémoires sur les « quantiques », rédige les travaux autour des matrices, multiplie les contributions à la théorie des fonctions symétriques des racines d'une équation, introduit le concept de groupe et se penche sur les fonctions liées à l'optique, l'astronomie ou la dynamique. En juillet 1850, Arthur — 29 ans — a la responsabilité de devenir chef de famille : son père vient de mourir. Durant une année, il retourne vivre dans la demeure familiale londonienne auprès de sa mère et de ses frères et sœurs, dont aucun n'est encore marié. Le 3 juin 1852, Cayley est élu membre de la Royal Society. Rapidement, il s'engage auprès des différents comités et entre au conseil de l'institution en 1859, l'année de la publication de son sixième mémoire sur les quantiques, et de l'octroi de la médaille royale dont il est gratifié. Il entame alors une collaboration active avec la British Association for the Advancement of Science. Puis, en 1857, il devient membre de la Royal astronomical Society, puis de son conseil. Malgré l'importance des recherches mathématiques de Cayley, leur reconnaissance à l'échelle européenne et leur poids scientifique en Grande-Bretagne, un personnage aussi renommé ne bénéficie pas d'un poste à l'université où il pourrait se consacrer entièrement à la recherche. En quête d'une position en son sein, il commence, faute de mieux, à dispenser des cours à la toute récente section d'enseignement pour adultes du King's College de Londres. Finalement, en 1863, il obtient une chaire qui vient d'être créée à l'université de Cambridge.