Marie-Sophie Germain (pronunciación en francés: /maʁi sɔfi ʒɛʁmɛ̃/; París, 1 de abril de 1776-ib., 27 de junio de 1831), fue una matemática y física francesa autodidacta. Fue una de las maestras de la teoría de elasticidad e hizo importantes contribuciones a la teoría de números. Uno de sus trabajos más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron conocidos como números primos de Sophie Germain (números primos cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo).
Marie-Sophie Germain nació en París en el seno de una distinguida familia de la nobleza. Su padre, Ambroise-François Germain, maestro orfebre, fue miembro del tercer Estado en la Asamblea Constituyente de 1789.
Debido a las revueltas de la Revolución Francesa estaba encerrada en su casa a sus trece años. Pensando que a su familia solo le interesaban la política y el dinero durante la Revolución Francesa, se refugió leyendo los libros de la biblioteca de su padre. Su interés por las matemáticas surgió después de leer "Histoire des mathématiques" de Jean-Baptiste Montucla donde le llamó la atención la historia de Arquímedes al cual le importaron más las matemáticas que su propia muerte. Siguió con el tratado de aritmética de Étienne Bezout y el de cálculo diferencial de A. J. Cousin, para continuar, después de aprender latín sin ninguna ayuda, con las obras de Isaac Newton y de Leonhard Euler.
Fue autodidacta. A pesar de la oposición inicial de sus padres y de las dificultades que se le presentaron en la sociedad, adquirió su educación utilizando el seudónimo de Antoine Auguste LeBlanc, para hacerse pasar por un hombre.
Sophie Germain hizo descubrimientos importantes en teoría de números, en física matemática, acústica y elasticidad.
Marie-Sophie Germain nunca se casó, y dependió económicamente durante toda su vida del soporte económico que le brindó su familia. Por ser mujer, no pudo vivir de una carrera profesional como matemática, pero aun así, trabajó de manera independiente durante toda su vida.
Falleció a los 55 años, debido a un cáncer de mama, en 1831. Pese a que la enfermedad se le había manifestado dos años antes, continuó hasta el final volcada en su trabajo.
Germain tuvo un interés especial en las enseñanzas de Joseph-Louis Lagrange y, bajo el seudónimo de «Sr. Le Blanc»,le envió varios artículos. Lagrange se impresionó tanto por estos artículos que le pidió a Le Blanc una entrevista y Germain se vio forzada a revelarle su identidad. Aparentemente Lagrange reconoció el talento filósofo por encima de los prejuicios y decidió convertirse en su mentor.
En 1804, después de leer a Carl Friedrich Gauss en su famoso Disquisitiones Aritmeticae (1801), comenzó a cartearse con este, de nuevo bajo pseudónimo. Dos años después, durante la invasión napoleónica de Prusia, también Gauss conoció su verdadera identidad, cuando Germain intercedió ante uno de los generales de Napoleón Bonaparte (Pernety), a quien Germain conocía personalmente, para que le resguardara de cualquier daño ante la ocupación de la ciudad natal de Gauss en Brunswick (Braunschweig). Sophie temía que Gauss pudiera correr un destino similar al de Arquímedes y le confió a Pernety sus temores; este localizó al matemático alemán y le dijo quien era su protectora (lo que confundió a Gauss ya que nunca había oído hablar de ella). Entonces Germain le escribió a Gauss una carta en la que admitía su condición femenina; a lo que Gauss contestó lo siguiente:
Sin embargo, en 1808, cuando Gauss fue nombrado profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga, el interés del matemático se derivó hacia las matemáticas aplicadas y ambos dejaron de cartearse.
Etapa en la Academia Francesa de las Ciencias
En 1811 Germain participó en un concurso de la Academia Francesa de las Ciencias para explicar los fundamentos matemáticos desarrollados por un matemático alemán, Ernst Chladni, aplicados al estudio sobre las vibraciones de las superficies elásticas. Después de ser rechazada por dos veces, en 1816 ganó el concurso, con el trabajo que tenía por título “Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques”. Esto le permitió convertirse en la primera mujer que asistió a las sesiones de la Academia Francesa de las Ciencias (aparte de las esposas de los miembros) y la colocó junto a los grandes matemáticos de la historia.
Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue la demostración matemática de la siguiente proposición: x, y, z son enteros y x5 + y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible entre cinco. Esta demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por completo hasta 1995.
Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como Identidad de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:
{\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)\ }
Intentó demostrar el Teorema de Fermat, y aunque no pudo hacerlo, obtuvo algunos resultados que influyeron en las matemáticas de la época.
Así mismo, uno de sus resultados más conocidos es el conocido como Teorema de Sophie Germain, recuperado gracias a un pie de página en una obra de Adrien-Marie Legendre en 1823. Este teorema trata sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación xp + yp = zp del Último teorema de Fermat para p primo impar. Sophie Germain probó que al menos uno de los números x, y, z tiene que ser divisible por p2 si puede encontrarse un primo auxiliar θ tal que se satisfacen las dos condiciones:
No existen dos potencias p distintas de cero que difieran uno en módulo θ; y