Leopold Kronecker (Liegnitz, 7 de diciembre de 1823 – Berlín, 29 de diciembre de 1891) fue un matemático y lógico alemán que realizó contribuciones fundamentales a la teoría de números, el álgebra y el análisis. Es conocido por su postura finitista, que defendía que la aritmética y el análisis debían fundarse exclusivamente en los números enteros, y por su célebre frase: «Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre». Su enfoque unificador de la geometría y la aritmética, conocido como el punto de vista kroneckeriano, influyó profundamente en el desarrollo de la geometría algebraica moderna, siendo reconocido por Alexander Grothendieck en su Séminaire de Géométrie Algébrique (SGA 1). Kronecker mantuvo una célebre controversia con Georg Cantor a causa de su rechazo a la teoría de conjuntos transfinitos, lo que le ha valido ser considerado un precursor del intuicionismo.
Hijo de un comerciante judío, Kronecker se convertiría al cristianismo un año antes de su muerte.
En 1845 se doctoró en la Universidad de Berlín y en ese año escribió su disertación sobre teoría de números, dando una formulación especial a las unidades en ciertos campos numéricos algebraicos. Su tutor fue Peter Gustav Dirichlet.
Matemático y lógico, Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios. Fue autor de una frase muy conocida entre los matemáticos: "Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre" (Bell 1986, p.477). Esto puso a Kronecker en contra de varias de las extensiones matemáticas de Georg Cantor. Kronecker fue discípulo y amigo de Ernst Kummer.
Tras obtener su título, Kronecker se dedicó a gestionar las propiedades y negocios de su tío, sin producir nada en matemáticas durante ocho años. En su memoria de 1853 sobre la resolución algebraica de ecuaciones, Kronecker extendió el trabajo de Évariste Galois sobre la teoría de ecuaciones. Aceptó una plaza de profesor en la Universidad de Berlín en 1883.
También contribuyó al concepto de continuidad, reconstruyendo la forma de los números irracionales en los números reales. En el análisis, Kronecker rechazó la formulación de su colega Karl Weierstrass de una función continua que no admite derivada en ninguno de sus puntos. En su artículo de 1850, Sobre la solución de la ecuación general de quinto grado, Kronecker resolvió la ecuación quíntica usando teoría de grupos.
El finitismo de Kronecker lo convirtió en un precursor del intuicionismo en los fundamentos de la matemática.
La obra de Kronecker abarca múltiples áreas de las matemáticas, con contribuciones fundamentales en teoría de números, álgebra y análisis.
Kronecker realizó contribuciones pioneras a la teoría de números algebraicos. En su disertación de 1845 ya abordó el estudio de las unidades en campos numéricos algebraicos. Su trabajo más influyente en esta área es el teorema de Kronecker-Weber, que demuestra que toda extensión abeliana finita de los números racionales está contenida en un cuerpo ciclotómico. Kronecker proporcionó la mayor parte de la demostración en 1853, que fue completada posteriormente por Heinrich Weber y David Hilbert.
En álgebra, Kronecker fue uno de los primeros en estudiar la estructura de los grupos finitos y su relación con la resolución de ecuaciones. Su artículo de 1850 sobre la ecuación de quinto grado (Sobre la solución de la ecuación general de quinto grado) utilizó técnicas de teoría de grupos para abordar el problema, extendiendo el trabajo de Évariste Galois. También introdujo el concepto de sistemas modulares, un precursor de la noción moderna de ideal en un anillo, que influiría en el trabajo de Richard Dedekind y Emmy Noether.
Aunque Kronecker es conocido principalmente por su postura crítica hacia el análisis clásico, sus contribuciones a esta área fueron profundas y abarcan desde la teoría de funciones elípticas hasta la topología.
Funciones elípticas y fórmula del límite
Kronecker realizó contribuciones fundamentales a la teoría de funciones elípticas. En particular, demostró la llamada fórmula del límite de Kronecker, que describe el término constante en
de una serie de Eisenstein real analítica en términos de la función eta de Dedekind. Esta fórmula revela conexiones profundas entre la aritmética y las funciones trascendentes, y ha dado lugar a numerosas generalizaciones en teoría de números y geometría algebraica. Su trabajo sobre funciones elípticas con retículo de períodos contenido en un cuerpo cuadrático imaginario anticipó el desarrollo de la teoría de campos de clases y está en el corazón de su célebre Jugendtraum.
Índice de Kronecker y topología
En un artículo fundamental de 1869, Kronecker generalizó el índice de Cauchy de una variable a
dimensiones, introduciendo lo que hoy se conoce como el índice de Kronecker (o característica de Kronecker). Esta noción, que asigna un número entero a un sistema de ecuaciones
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}