El concepto de infinito (símbolo: ∞) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o sin final, contrapuesto al concepto de finitud.
En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.
Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, esta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto". Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente se dice que:
La idea de cardinalidad de un conjunto se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad. Para un conjunto finito su cardinalidad puede representarse por un número natural. Por ejemplo, el conjunto {manzana, pera, durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el número 3 que es el conjunto {0,1,2}:
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{Manzana}}&\leftrightarrow &0\\{\mbox{Pera}}&\leftrightarrow &1\\{\mbox{Durazno}}&\leftrightarrow &2\end{matrix}}}
Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (0, manzana), (1, pera), (2, durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos se utilice exactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación "uno a uno" entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.
Primera definición positiva de conjunto infinito
La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la siguiente observación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible construir una biyección entre S y T. Por ejemplo, si S = {1,2,3,4,5,6,7,8} y T = {2,4,6,8} no es posible construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo número de elementos).
Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la misma cardinalidad que el conjunto original. Consideremos el conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso, consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un subconjunto propio de N, y la regla de asignación
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}N&\leftrightarrow &P\\1&\leftrightarrow &2\\2&\leftrightarrow &4\\3&\leftrightarrow &6\\4&\leftrightarrow &8\end{bmatrix}}.}
ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.
Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen rigurosamente así:
{\displaystyle 0=\{\}=\varnothing }
{\displaystyle 1=\{0\}=\{\varnothing \}}
{\displaystyle 2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}
{\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\qquad (n+1)=n\bigcup \{n\}}
Por construcción, 0 está incluido en 1, quien a su vez está incluido en 2, ya que obviamente:
{\displaystyle n\subseteq n\bigcup \{n\}=(n+1)}