Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 de abril de 1849-Gotinga, 22 de junio de 1925) fue un
matemático alemán que demostró que las geometrías métricas, euclidianas o no euclidianas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva. En 1871 presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que puso fin a la escisión entre geometría pura y geometría analítica. En esta clasificación, el concepto de grupo desempeña un papel fundamental, ya que «el objeto de cada geometría se convierte en el estudio del grupo de transformaciones que la caracteriza».
Al igual que Bernhard Riemann, Klein consideraba la teoría de funciones de variable compleja como una teoría geométrica y traspasó directamente el concepto a la física. Su estudio de las funciones modulares sigue siendo esencial para los investigadores.[cita requerida]
Profesor de la Universidad de Gotinga (1886), fue el fundador de la Gran enciclopedia de las matemáticas (1895) y uno de los abogados y artífices de la renovación de la enseñanza de las matemáticas en los estudios secundarios. Klein fue además un importante organizador de grupos científicos y de actividades docentes en equipo. Se le considera como uno de los principales contribuyentes a que Gotinga se transformara en un importante centro para el desarrollo de la matemática en Europa.
Lleva su nombre la célebre botella de Klein, superficie con una sola cara que describió en 1881.
Datos biográficos de la carrera académica
Klein estudió en Bonn, siendo discípulo de Rudolf Lipschitz y Julius Plücker, de quien más tarde fue su asistente. Tras la muerte de Plücker, Alfred Clebsch asumió la labor editorial de su obra inconclusa y delegó en parte este trabajo al talentoso Klein. Klein obtuvo su doctorado en 1868 bajo la tutoría de Lipschitz con un tema de geometría aplicada a la mecánica.
En 1869 estuvo en la Universidad de Berlín y asistió allí a una cátedra de Leopold Kronecker sobre formas cuadráticas. Participó en los seminarios de Ernst Kummer y Karl Weierstrass, donde también conoció a Sophus Lie, con quien trabó amistad y estuvo en 1870 en París en viaje de estudios. Debido a la guerra francoalemana regresó a Alemania. Obtuvo el grado y habilitación como profesor en 1871 con Clebsch en Gotinga y permaneció allí entre 1871 y 1872 como docente privado.
Por gestiones de Clebsch obtuvo en 1872 un llamamiento como profesor en Erlangen. La trayectoria de su carrera lo llevó en 1875 a la Universidad Técnica de Múnich. En ese mismo año contrajo matrimonio con Anna Hegel, una nieta de Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
En el año 1880 Klein recibió el requerimiento de ir a Leipzig como profesor de geometría. En este período de Leipzig tuvo lugar su etapa creativa más productiva científicamente. Así, mantenía correspondencia con Henri Poincaré y se dedicaba simultáneamente a la organización de la docencia. Esta doble carga de trabajo condujo finalmente a un colapso corporal. En 1886 aceptó un nombramiento en Gotinga, donde permaneció hasta su muerte. Aquí se dedicó sobre todo e intensivamente a las tareas de organización científica, mientras David Hilbert, quien había sido llamado a Gotinga gracias a su gestión en 1895 continuó expandiendo la fama de Gotinga como uno de los centros mundiales de la matemática de aquel entonces. En 1914 obtuvo el Premio Ackermann Teubner. Desde 1908 representó a la Universidad de Gotinga en la Cámara del Parlamento de Prusia. En 1924 Klein fue nombrado miembro honorario del DMV, siendo su presidente en 1897, 1903 y 1908.
Klein fue uno de los noventa y tres firmantes del Manifiesto de los 93, publicado el 4 de octubre de 1914, un documento redactado en apoyo de la invasión alemana de Bélgica en las primeras etapas de la Primera Guerra Mundial.
Klein murió en Gotinga en 1925. Fue sepultado en el Cementerio de la ciudad en la calle Kasseler Landstraße de Gotinga.
La tesis de Klein, sobre geometría lineal y sus aplicaciones a la mecánica, clasificaba los complejos lineales de segundo grado utilizando la teoría de los divisores elementales de Weierstrass.
Los primeros descubrimientos matemáticos importantes de Klein se realizaron durante 1870. En colaboración con Sophus Lie, descubrió las propiedades fundamentales de las rectas asintóticas en la superficie de Kummer. Más tarde investigaron las curvas W, curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. Fue Lie quien introdujo a Klein en el concepto de grupo, que desempeñaría un papel fundamental en sus trabajos posteriores. Klein también aprendió sobre grupos de Camille Jordan.
Klein ideó la "botella de Klein" que lleva su nombre, una superficie cerrada de un solo lado que no puede incrustarse en el espacio euclidiano tridimensional, pero puede sumergirse como un cilindro enrollado sobre sí mismo para unirse con su otro extremo desde el "interior". Puede estar inmersa en el espacio euclídeo de dimensiones 4 y superiores. El concepto de Botella de Klein se ideó como una banda de Möbius tridimensional, siendo un método de construcción la unión de los bordes de dos bandas de Möbius.
Durante la década de 1890, Klein comenzó a estudiar física matemática más intensamente, escribiendo sobre el giroscopio con Arnold Sommerfeld. Durante 1894, inició la idea de una enciclopedia de matemáticas que incluyera sus aplicaciones, que se convirtió en la Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Esta empresa, que perduró hasta 1935, proporcionó una importante referencia estándar de valor perdurable.
En 1871, durante su estancia en Gotinga, Klein realizó importantes descubrimientos en geometría. Publicó dos artículos Sobre la llamada geometría no euclidiana en los que demostraba que las geometrías euclidiana y no euclidiana podían considerarse espacios métricos determinados por una métrica de Cayley-Klein. Esta idea tenía el corolario de que la geometría no euclidiana era consistente si y sólo si la geometría euclidiana lo era, dando el mismo estatus a las geometrías euclidianas y no euclidianas, y poniendo fin a toda controversia sobre la geometría no euclidiana. Arthur Cayley nunca aceptó el argumento de Klein, por considerarlo circular.
La síntesis de Klein de la geometría como el estudio de las propiedades de un espacio que es invariante bajo un grupo de transformaciones dado, conocida como el programa de Erlangen (1872), influyó profundamente en la evolución de las matemáticas. Este programa se inició con la conferencia inaugural de Klein como profesor en Erlangen, aunque no fue el discurso real que pronunció en esa ocasión. El programa proponía un sistema unificado de geometría que se ha convertido en el método moderno aceptado. Klein mostró cómo las propiedades esenciales de una geometría dada podían representarse mediante el grupo de transformaciones que preservan esas propiedades. De este modo, la definición de geometría del programa abarcaba tanto la geometría euclidiana como la no euclidiana.