Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789-Sceaux, Lion, 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés, miembro de la Academia de Ciencias de Francia y profesor en la Escuela politécnica.
Cauchy ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, solo superado por Leonhard Euler, Paul Erdős y Arthur Cayley con cerca de 800 publicaciones y siete trabajos; su investigación cubre el conjunto de áreas matemáticas de la época. Fue pionero en análisis donde se le debe la introducción de las funciones holomorfas, los criterios de convergencia de series y las series de potencias. Sus trabajos sobre permutaciones fueron precursores de la teoría de grupos, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. En óptica se le atribuyen trabajos sobre la propagación de ondas electromagnéticas.
Cauchy empezó a educarse tempranamente con su padre Louis François Cauchy (1760-1848) quien ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Joseph-Louis de Lagrange y Pierre Simon Laplace.
Estudió en la Escuela politécnica de París, donde obtuvo su título en ingeniería civil. Siempre destacó en la escuela como gran alumno. Sufría de una salud delicada. Comenzó a dedicarse a la investigación científica intensiva y a la publicación de varias obras importantes en rápida sucesión. La principal conclusión de este período fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat, al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss. Fue nombrado profesor de mecánica en la École Polytechnique en 1816. Fue promovido a miembro de la Academia Francesa de las Ciencias en lugar de Gaspard Monge, quien fue expulsado por razones políticas.
En 1830, se vio en la necesidad de seguir siendo fiel al juramento ante el rey Carlos X, por lo que tuvo que abandonar todos sus cargos académicos y marchar al exilio. Desde París, se trasladó a Turín, donde dio clases en la universidad, y luego se trasladó a Praga, a petición de Carlos X, como tutor del Conde de Chambord. Regresó a París en 1838, pero no pudo encontrar un lugar en la Sorbona hasta 1848, cuando fue nombrado profesor de Astronomía.
Murió el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, solo, abandonado por su familia y amigos. En su lecho de muerte se arrepentiría de lo que consideraba como su único error en la vida, no haber dedicado más tiempo a la matemática: «No me imagino una vida más plena que una vida dedicada a la matemática», exclamó semanas antes de morir.
En 1814 publicó su obra sobre análisis infinitesimal. Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente. (Función de Weierstrass)
Cauchy desarrolló por sí solo la teoría de funciones complejas. El primer teorema fundamental demostrado por Cauchy, ahora conocido como Teorema integral de Cauchy, fue el siguiente:
{\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=0,}
donde f(z) es una función holomorfa de valor complejo sobre y dentro de la curva cerrada C (contorno) que no se interseca automáticamente y que se encuentra en el plano complejo. La integral de contorno se toma a lo largo del contorno C.
De gran importancia son sus escritos sobre la propagación de ondas, gracias a los cuales obtuvo el Gran Premio del instituto en 1816. Sus mayores contribuciones a las matemáticas están contenidas en los rigurosos métodos que introdujo. Esto se encuentra principalmente en sus tres grandes tratados: Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1821); Le Calcul infinitésimal (1823); Leçons sur les application de calculus infinitesimal; La géométrie (1826–1828); y también en sus Cursos de mecánica (para la École Polytechnique), Álgebra superior (para la Faculté des Sciences) y Física matemática (para el Collège de France).
Cauchy escribió numerosos tratados y publicó 789 artículos en revistas científicas. Estos escritos abarcan temas de gran importancia como la teoría de series (en la que desarrolló con gran perspicacia la noción de convergencia), la teoría de números y cantidades complejas, la teoría de grupos y sustituciones, la teoría de funciones, ecuaciones diferenciales y determinantes. Aclaró los principios del cálculo desarrollándolos con la ayuda de límites y continuidad; fue el primero en demostrar rigurosamente el teorema de Taylor. En óptica, desarrolló una teoría de las ondas, que más tarde resultó físicamente insatisfactoria; la fórmula de dispersión simple está asociada a su nombre. En elasticidad inició la teoría de la tensión mecánica, sus resultados tienen prácticamente el mismo valor que los de Simeon Poisson. Otra contribución significativa es la demostración del Teorema del número poligonal de Fermat. Creó el teorema del residuo y lo utilizó para derivar algunas de las fórmulas más interesantes relacionadas con series e integrales. También fue el primero en definir los números complejos como un par de números reales. También descubrió muchas fórmulas básicas en la teoría de series q.
En el campo de la mecánica de medios continuos, describió los fundamentos de un modelo de cuerpo continuo, el continuo de Cauchy, que todavía hoy representa una piedra angular de la ciencia de la construcción. Al desarrollar esta teoría, ideó muchos de sus teoremas analíticos.
Cauchy fue un autor muy prolífico: la colección de todas sus obras, Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, requirió 27 volúmenes y varios organismos matemáticos llevan su nombre, por ejemplo la sucesión de Cauchy y numerosos teoremas de análisis. La complejidad de sus actividades lo sitúa entre los más grandes matemáticos.
Aunque generalmente riguroso, Cauchy estaba muy por delante de sus contemporáneos, por lo que uno de sus teoremas fue refutado por un "contraejemplo" de Niels Henrik Abel, que luego fue corregido mediante la inclusión de continuidad uniforme.
En un artículo publicado en 1855, dos años antes de su muerte, Cauchy analizó algunos teoremas, uno de los cuales es similar al tema principal de muchos textos modernos sobre análisis complejo. En los textos modernos de control automático (Teoría del control), el tema principal se utiliza con frecuencia para derivar el criterio de estabilidad de Nyquist, llamado así por Harry Nyquist, que puede usarse para predecir la estabilidad de un amplificador con retroalimentación negativa o un sistema de control genérico con retroalimentación negativa. Por tanto, el trabajo de Cauchy tuvo un fuerte impacto tanto en las matemáticas puras como en la ingeniería aplicada.
Cauchy fue responsable de algunos de los primeros estudios sobre los grupos simétricos y por estos también se le considera uno de los fundadores de la teoría de grupos. También logró importantes resultados en teoría de números. También obtuvo resultados notables en la teoría de errores. En astronomía obtuvo un tratamiento más sencillo del movimiento del asteroide (2) Palas.
En su libro Cours d'Analyse Cauchy destacó la importancia del rigor en el análisis. El rigor en este caso significaba el rechazo del principio de generalidad del álgebra (de autores anteriores como Euler y Lagrange) y su sustitución por la geometría y los infinitesimales. Judith Grabiner escribió que Cauchy fue "el hombre que enseñó un análisis riguroso a toda Europa". Con frecuencia se señala que el libro fue el primer lugar donde se introdujeron en el cálculo las desigualdades y los argumentos