Élie Joseph Cartan (Dolomieu (Isère), 9 de abril de 1869-París, 6 de mayo de 1951) fue un matemático francés, que llevó a cabo trabajos fundamentales en la teoría de grupos de Lie y sus usos geométricos. También hizo importantes contribuciones a la relatividad general e indirectamente a la mecánica cuántica. Está ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos del siglo XX.
Defendió con éxito su tesis sobre grupos de Lie en la Escuela Superior de París en 1894. La originalidad e importancia del trabajo de Cartan no se apreciaron hasta bien avanzada su vida. Recibió títulos honoríficos de la Universidad de Harvard en 1936 y de muchas otras universidades. También fue elegido presidente de la Academia de Ciencias de Francia en 1946 y miembro extranjero de la Royal Society un año después.
Élie Cartan nació el 9 de abril de 1869 en el pueblo de Dolomieu, Isère, hijo de Joseph Cartan (1837–1917) y Anne Cottaz (1841–1927). Joseph Cartan era el herrero del pueblo; Élie Cartan recordaba que su infancia había transcurrido bajo "los golpes del yunque, que comenzaban cada mañana desde el amanecer", y que "su madre, durante esos raros minutos en que estaba libre de cuidar a los niños y la casa, trabajaba con una rueca". Élie tenía una hermana mayor, Jeanne-Marie (1867–1931), que se convirtió en modista; un hermano menor, Léon (1872–1956), que se convirtió en herrero trabajando en la herrería de su padre; y una hermana menor, Anna Cartan (1878-1923), quien, en parte bajo la influencia de Élie, ingresó a la École Normale Supérieure (como lo había hecho Élie antes) y eligió una carrera como profesora de matemáticas en un lycée (escuela secundaria).
Estudió en el Lycée Janson de Sailly de París y en la Escuela Normal Superior de París en 1888.
Élie Cartan ganó el concurso de matemáticas de la agrégation en 1891, pero nunca dio clases en el instituto. Hizo el servicio militar de 1891 a 1892, y luego fue becario del Collège de France (fundación Pécot) de 1892 a 1894. Durante este periodo mantuvo una fructífera correspondencia con Sophus Lie y se doctoró en matemáticas en la Facultad de Ciencias de París en 1894. A continuación, fue nombrado profesor de matemáticas y luego de astronomía en la Facultad de Ciencias de Montpellier, que abandonó dos años después, en 1896, para ir a la Facultad de Lyon. En 1901 se convirtió en examinador de ingreso en la Escuela Naval.
Se casó en 1903 y el 1 de agosto de ese año fue encargado del curso de cálculo diferencial e integral en la Facultad de Ciencias de Nancy, en sustitución de su antiguo profesor Émile Lacour. Élie Cartan se convirtió en titular de la cátedra el 1 de noviembre de 1904, cuando tenía 35 años. También se encargó de enseñar los elementos de análisis a los estudiantes del instituto de electrotecnia y mecánica aplicada. En 1909, Élie Cartan fue nombrado profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad de París, en sustitución de Jacques Hadamard, que fue destinado al Collège de France.
De 1910 a 1912 se encargó del curso de matemáticas generales por intercambio de enseñanza con Claude Guichard. Durante este periodo puso en marcha los trabajos prácticos de matemáticas generales que consistían en la realización de cálculos prácticos como la resolución aproximada de ecuaciones, el cálculo aproximado de integrales definidas, el uso de tablas que daban los valores numéricos de las funciones enteras y de las integrales elípticas o el uso de aparatos de cálculo. Un centenar de estudiantes siguen estos ejercicios. También se encargó del servicio de exámenes de Paul Painlevé, que fue elegido adjunto a la cátedra de matemáticas generales.
A partir de 1909 también enseñó en la Escuela de Física y Química Industrial de la ciudad de París. En 1912, tras la muerte de Jules Tannery, fue nombrado titular de la segunda cátedra de cálculo diferencial e integral, creada tras la integración de la École normale supérieure en la Universidad de París en 1904. Durante más de 20 años, fue delegado parcial o totalmente (14 años) en la École normale supérieure para impartir clases de matemáticas.
En 1920 fue trasladado a la cátedra de mecánica racional (en sustitución de Paul Painlevé). En 1922 se le encargó el curso de mecánica analítica y mecánica celeste (en sustitución de Paul Painlevé) y Paul Montel, titular de la cátedra de matemáticas generales, se encargó del curso de mecánica racional. En 1924, sucedió a Claude Guichard en la cátedra de geometría superior. Cuando se creó la biblioteca del Instituto Henri-Poincaré en 1928, la biblioteca y la sala de modelos del laboratorio de geometría superior se trasladaron allí.
En 1921 se convirtió en miembro extranjero de la Academia Polaca de Ciencias y en 1937 en miembro extranjero de la Real Academia Neerlandesa de Artes y Ciencias. En 1931 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias. En 1938 participó en el Comité Internacional creado para organizar los Congresos Internacionales para la Unidad de la Ciencia. Se retiró de la universidad en 1940 y se convirtió en miembro del Bureau des Longitudes en 1945. Fue miembro extranjero de la Academia Rumana.
La escuela de su ciudad natal, Dolomieu, lleva su nombre, al igual que el instituto7 de La Tour-du-Pin, subprefectura de Isère, y el Instituto Élie Cartan de Nancy de la Universidad de Lorena.
En su propia opinión, el tema principal de sus trabajos (186 publicados durante el período 1893-1947) fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las álgebras de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de Friedrich Engel y Wilhelm Killing. Esto dio como resultado la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. También introdujo el concepto de grupo algebraico, que no sería desarrollado seriamente antes de 1950.
Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, del modo en el que se utiliza actualmente; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella época, lo que se dio en llamar sistemas de Pfaff (es decir, ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) eran de uso general; por medio de la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, se pudo llegar a una formulación muy general de los sistemas de EDP. Cartan agregó la derivada exterior, como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas, lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan reconoció la influencia en él de la teoría general de Riquier de EDP.
Con estos fundamentos (Grupos de Lie y formas diferenciales) produjo un gran corpus de trabajo, y también algunas técnicas generales, como el marco móvil, que quedaron incorporadas gradualmente en la corriente principal de las matemáticas.
Los métodos de Cartan en la teoría de los sistemas diferenciales son quizás su logro más profundo. Rompiendo con la tradición, intentó desde el principio formular y resolver los problemas de forma completamente invariante, independientemente de cualquier elección particular de variables y funciones desconocidas. Así, por primera vez fue capaz de dar una definición precisa de lo que es una solución "general" de un sistema diferencial arbitrario. Su siguiente paso fue intentar determinar también todas las soluciones "singulares", mediante un método de "prolongación" que consiste en unir nuevas incógnitas y nuevas ecuaciones al sistema dado, de tal forma que cualquier solución singular del sistema original se convierte en una solución general del nuevo sistema. Aunque Cartan demostró que en todos los ejemplos que trató su método conducía a la determinación completa de todas las soluciones singulares, no consiguió demostrar en general que esto sería siempre así para un sistema arbitrario; tal demostración fue obtenida en 1955 por Masatake Kuranishi.
La principal herramienta de Cartan fue el cálculo de formas diferenciales exteriores, que ayudó a crear y desarrollar en los diez años siguientes a su tesis y que aplicó a diversos problemas de geometría diferencial, grupos de Lie, dinámica analítica y relatividad general. Discutió un gran número de ejemplos, tratándolos en un estilo extremadamente elíptico que sólo fue posible gracias a su asombrosa perspicacia algebraica y geométrica.