Paul Painlevé (* 5. Dezember 1863 in Paris; † 29. Oktober 1933 ebenda) war ein französischer Mathematiker und Politiker des reformsozialistischen Parti républicain-socialiste. 1917 und 1925 war er für jeweils wenige Monate Premierminister der Dritten Französischen Republik.
Painlevé studierte von 1883 an der École normale supérieure Mathematik und promovierte 1887 mit der Schrift Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, nachdem er zuvor eine Zeit lang bei Felix Klein und Hermann Amandus Schwarz an der Universität Göttingen studiert hatte. Er war Professor an der Universität Lille I, ab 1892 unterrichtete er in Paris an der Sorbonne, der École polytechnique und später am Collège de France und an der École normale supérieure. Seit 1900 war er gewähltes Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften, deren Präsident er 1918 wurde. 1904 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Heidelberg (Le problème moderne de l'intégration des équations différentielles).
Seine mathematischen Arbeiten auf dem Gebiet der Differentialgleichungen brachten ihn in Berührung mit deren Anwendungen auf die Theorie des Fliegens und er begeisterte sich aufgrund seiner Neigung für die Ingenieurwissenschaften für die sich gerade entwickelnde Luftfahrt. So war er auch 1908 Wilbur Wrights erster Flugzeugpassagier in Frankreich und rief 1909 die erste universitäre Lehrveranstaltung zur Aeronautik ins Leben.
1903 war er Präsident der Société Mathématique de France. 1902 wurde er Ritter der Ehrenlegion und 1913 Ehrenmitglied der London Mathematical Society.
In einfachen Fällen lässt sich die Lösung einer Differentialgleichung durch elementare Funktionen wie die trigonometrischen Funktionen oder die Exponentialfunktion ausdrücken. Viele spezielle Funktionen der mathematischen Physik sind Lösungen von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Painlevé betrachtete nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit einer speziellen Eigenschaft, die heute Painlevé-Eigenschaft heißt (Painlevé-Gleichungen).
Zur Definition dieser Eigenschaft klassifiziert man die Singularitäten einer Lösung in feste und bewegliche Singularitäten. Dabei heißt eine Singularität beweglich, wenn sie von den Anfangswerten der Differentialgleichung abhängt. Zum Beispiel hat die Differentialgleichung
{\displaystyle w'(z)=w(z)^{2}}
{\displaystyle w(z)=(z-a)^{-1}}
. Man sagt nun, dass eine Differentialgleichung die Painlevé-Eigenschaft hat, wenn die einzigen beweglichen Singularitäten Pole sind.
Die Differentialgleichungen erster Ordnung mit der Painlevé-Eigenschaft waren von Lazarus Fuchs und Henri Poincaré klassifiziert worden. Painlevé untersuchte diese Frage für Differentialgleichungen der Form
{\displaystyle w''(z)=R(z,w(z),w'(z))}
rational ist. Dieses führte auf eine Liste von 50 Gleichungen, von denen sich 44 aber auf bekannte Gleichungen zurückführen ließen. Es verblieben 6 neue Gleichungen, die heute als Painlevésche Differentialgleichungen bezeichnet werden, ihre Lösungen als Painlevésche Transzendente. Die Liste von Painlevé war nicht ganz vollständig, wurde aber durch Bertrand Gambier und Richard Fuchs vervollständigt. Die Painlevéschen Transzendenten sind bedeutsam in verschiedenen Gebieten der Mathematischen Physik und auch heute noch ein Gegenstand intensiver Forschung.
In der Himmelsmechanik bewies er, dass im Dreikörperproblem Singularitäten vom Kollisions-Typ sind, konnte dies aber nicht auf höhere Dimensionen erweitern und vermutete, dass für mehr als vier Körper Singularitäten vom Nicht-Kollisions-Typ existieren (wie Hugo von Zeipel zeigte, können dann Teilchen in endlicher Zeit ins Unendliche entkommen). Die Vermutung wurde für fünf und mehr Körper Ende der 1980er Jahre von Jeff Xia bewiesen.
In den 1920er Jahren interessierte sich Painlevé zwischenzeitlich für die Gravitationstheorie sowie die allgemeine Relativitätstheorie, die damals unlängst von Albert Einstein eingeführt worden war. Painlevé führte 1921 ein Koordinatensystem für die Schwarzschild-Metrik (einer Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen) ein. Dieses Koordinatensystem zeigte erstmals deutlich, dass die Singularität der Schwarzschild-Metrik beim Schwarzschild-Radius (der den Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs repräsentiert) nur ein koordinatenabhängiges mathematisches Relikt ist und keine physikalische Singularität darstellt. Dies war bis ungefähr 1963 unter Physikern nicht allgemein anerkannt, als die durch Martin Kruskal und George Szekeres (und anderen) eingeführten Kruskal-Szekeres-Koordinaten das ebenfalls zeigten. Die Koordinaten von Painlevé sind auch als Gullstrand-Painlevé-Koordinaten bekannt, nach der gleichzeitigen Einführung durch Allvar Gullstrand.
Er trat als Mitglied der Französischen Liga für Menschenrechte im Zuge der Dreyfus-Affäre in die Politik ein. 1910 ließ er sich für die gemäßigt-linke Parti républicain-socialiste, eine Gründung Aristide Briands und Alexandre Millerands, erstmals in die Abgeordnetenkammer wählen. Im gleichen Jahr gab er seine Professur auf, um sich ganz der Politik zu widmen. Er beschäftigte sich insbesondere mit militärischen Fragen und stand als Fachmann für das im Entstehen begriffene militärische Flugwesen verschiedenen staatlichen Komitees vor. Nach Beginn des Ersten Weltkrieges wurde er 1915 Minister für Volkserziehung, Schöne Künste und Verteidigungstechnologie im fünften Kabinett von Aristide Briand (29. Oktober 1915 bis 12. Dezember 1916). Im März 1917 wurde er unter Alexandre Ribot zum Kriegsminister ernannt. Dem neuen französischen Oberbefehlshaber Robert Nivelle stand er kritisch gegenüber und löste ihn nach der gescheiterten Nivelle-Offensive und den schweren Meutereien im französischen Heer im Mai 1917 durch Philippe Pétain ab. Ferdinand Foch ernannte er zum Stabschef.
Für die Friedensgespräche mit dem österreichischen Diplomaten Nikolaus Revertera-Salandra im August 1917 im Schweizer Freiburg beauftragte er Graf Abel Armand, Major der Nachrichtenabteilung des französischen Generalstabs, Österreich-Ungarn wenig realistische Zugeständnisse (wie die Angliederung Bayerns, Schlesiens und Polens) zu offerieren, um Österreich für einen Separatfrieden zu gewinnen. Das Staatengebilde sollte den Namen „Confédération Danubienne“ unter habsburgischem Szepter führen. Die Verhandlungen scheiterten, weil Revertera keinen Auftrag hatte über einen Sonderfrieden zu verhandeln, wie ihn Painlevé anstrebte.
Nach dem Rücktritt Ribots wegen des Ausscheidens der sozialistischen SFIO aus der Allparteienregierung, der Union sacrée, die seit Beginn des Ersten Weltkriegs Frankreich regierte, übernahm Painlevé im September 1917 für einige Wochen zusätzlich zur Leitung des Kriegsministeriums auch das Amt des Premierministers. In seine Amtszeit fiel die Konferenz der Alliierten in Rapallo, auf der ein gemeinsames Oberkommando in Form des Alliierten Obersten Kriegsrats vereinbart wurde, in dem Painlevé, der die französische Seite in Rapallo vertrat, Foch als französischen Repräsentanten etablierte. Im Gefolge der politischen Erschütterungen, die die schwere italienische Niederlage von Caporetto auslöste, verlor Painlevé im November 1917 die Unterstützung des Abgeordnetenhauses und trat zurück. Sein Nachfolger wurde Georges Clemenceau.
Um die Kräfte der Linken gegen den seit 1919 regierenden bloc national zu bündeln, kündigte Painlevé 1921 in Avignon die Bildung einer „Ligue de la République“ an, die kurz darauf gegründet wurde. Politiker, die sich als links verstanden, wie die Sozialisten, die Radikalsozialisten oder seine eigenen Républicain-socialistes arbeiteten künftig stärker zusammen und verzichteten im zweiten Wahlgang zugunsten eines anderen Linken auf eine erneute Kandidatur, wenn dessen Wahl dadurch aussichtsreicher erschien.