Das Längenproblem oder Längengradproblem war das lange ungelöste Problem, die geographische Länge beispielsweise eines Schiffes auf dem offenen Meer bestimmen zu können.
Während die geographische Breite über die Polhöhe relativ einfach mit für die Seefahrt hinreichender Genauigkeit feststellbar ist, ist eine Bestimmung der Länge mit einer solchen oder ähnlichen Messung nicht möglich. Das liegt daran, dass die Breitenkreise durch Pole und Äquator definiert sind, die sich aus der Erdrotation ergeben, während der Nullmeridian rein willkürlich festgelegt wurde, oftmals sogar national unterschiedlich. Bestimmbar ist die Länge aus der Differenz der lokalen Sonnenzeit an der Schiffsposition zur aktuellen Uhrzeit am Nullmeridian. Das Problem bestand in der Ermittlung dieser Bezugszeit.
Ohne Möglichkeit zur genauen Bestimmung der geographischen Länge war es riskant, ein nicht sichtbares Ziel auf direktem Weg anzusteuern, da Kursabweichungen nicht erkannt werden konnten. Das Breitensegeln kam zwar ohne Bestimmung der Länge aus, bedeutete jedoch in vielen Fällen eine deutliche Verlängerung der Wegstrecke und damit der Reisedauer.
Der König von Spanien hatte bereits 1600 einen Preis für eine Lösung ausgesetzt, damals erfolglos. 1714 lobte auch das britische Parlament für eine praktisch brauchbare Lösung des Längenproblems ein hohes Preisgeld aus.
Als zufriedenstellende Lösung erwiesen sich nach 1750 die sehr ganggenauen Schiffsuhren des Uhrmachers John Harrison, die während der Reise die Uhrzeit des Nullmeridians mit hinreichender Präzision anzeigten. Eine referenzzeitunabhängige Möglichkeit der exakten Längenfeststellung wurde erstmals durch Funknavigation ab den 1940er Jahren sowie durch satellitengestützte Positionsmessung ab den 1960er Jahren möglich.
Die Gründung des königlichen Observatoriums in Greenwich durch Karl II. im Jahr 1675 war Englands erster Schritt auf der Suche nach einer genauen Längenmessung. Auch in Paris (Pariser Sternwarte) und St. Petersburg wurden Observatorien gegründet. Ihre Aufgaben waren die genaue Ermittlung des lokalen Mittagszeitpunktes sowie die Vorausberechnung astronomischer Ereignisse als brauchbare Zeitmarken.
Am 22. Oktober 1707 liefen bei stürmischer See und Dunkelheit vier von 21 Kriegsschiffen der Royal Navy auf Riffe der Scilly-Inseln und sanken. Über 1400 von 1450 Seeleuten starben, darunter auch Admiral Cloudesley Shovell. Dies machte die Bedeutung des Längenproblems ein weiteres Mal der Öffentlichkeit bewusst.
Nach einer Petition von William Whiston und Humphry Ditton (untermauert durch Stellungnahmen von Isaac Newton und Edmond Halley) lobte 1714 das britische Parlament für eine praktisch brauchbare Lösung des Längenproblems mit dem Longitude Act ein hohes Preisgeld aus: bei einer Genauigkeit von höchstens einem halben Grad Abweichung 20.000 £ und bei einer Genauigkeit bis zu einem Grad Abweichung 10.000 £. Ein Längenunterschied von einem Grad entspricht am Äquator 60 Seemeilen (etwa 111 km) und nimmt zu den Polen hin ab. Auf dem Breitengrad des Ärmelkanals entspricht ein Längengrad noch rund 40 Seemeilen (etwa 74 km). Diese Werte sollten nach einer Schiffsreise von Großbritannien zu einem beliebigen Hafen der Westindischen Inseln erreicht werden. Eine Uhr darf nicht mehr als 4 Minuten falsch anzeigen, um diese für die Seefahrt immer noch viel zu geringe Genauigkeit zu ermöglichen.
Das Preisgeld bedeutete damals ein stattliches Vermögen, vergleichbar mit einem heutigen zweistelligen Millionenbetrag. Ein seegängiges Schiff mittlerer Größe kostete damals etwa 1.500 bis 2.500 £, ein einfacher Arbeiter lebte von 10 £ im Jahr. Zur Verwaltung des Preisgeldes und zur Beurteilung eingereichter Vorschläge wurde das Board of Longitude ('Längenausschuss') gegründet. Mitglieder waren die damals bedeutendsten Astronomen und Mathematiker Englands sowie der Präsident der Royal Society (Königliche Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften).
Alle möglichen Lösungen beruhen auf Zeitmessungen. Auf dem Schiff wird die lokale Sonnenzeit ermittelt, was anhand des Sonnenlaufes relativ einfach ist. Zusätzlich wird als Referenzzeit die aktuelle Sonnenzeit eines Ortes mit bekannter geographischer Länge benötigt. Aus der Zeitdifferenz kann man die Länge der eigenen Position errechnen, denn die Zeitdifferenz verhält sich zu 24 Stunden wie die Differenz der Längen zu 360°.
Beispiel: Auf dem Schiff ist Mittag, während es in Greenwich (0° Länge) 15:30 Uhr ist. Die Differenz der Zeit beträgt also 3,5 Stunden. Dann befindet man sich auf
{\displaystyle \textstyle {\frac {3{,}5h}{24h}}\cdot 360^{\circ }=52{,}5^{\circ }}
Länge, und zwar westliche Länge, da es in Greenwich später ist als an der eigenen Position.
Das Problem bestand darin, die genaue Referenzzeit zu kennen, also im obigen Beispiel zu wissen, wie spät es in Greenwich gerade ist. Brauchbare Methoden dafür bestehen entweder im Beobachten astronomischer Ereignisse, deren Zeitpunkte präzise vorausberechnet werden konnten und in einer Tabelle aufgelistet waren, oder im Mitführen einer Längenuhr, die während der ganzen Reise die Ortszeit des Referenzortes zeigt – ein Verfahren, das Gemma R. Frisius bereits 1530 vorgeschlagen hatte. Anfang des 18. Jahrhunderts war aber der Bau einer Uhr, die auf einem fahrenden Schiff mit seinen Bewegungen unter wechselnden klimatischen Bedingungen genügend genau geht, technisch noch nicht möglich, so dass zunächst auf die astronomischen Beobachtungen gesetzt wurde.
Die von Galilei (1564–1642) entdeckten Jupitermonde umkreisen den Jupiter so schnell, dass rund 1000-mal jährlich ein exakt vorausberechenbares Erscheinen oder Verschwinden eines Mondes eintritt. Diese Ereignisse sind für alle Beobachtungsorte auf der Erde praktisch gleichzeitig beobachtbar und daher als globale „Zeitmarken“ geeignet. Diese Lösung war jedoch auf ein ruhig stehendes Teleskop angewiesen und damit nur an Land zuverlässig nutzbar.
Dennoch bemühten sich Wissenschaftler aus verschiedenen Nationen zumindest auf dem Festland mittels Beobachtung der Jupitermonde um exakte Längengradbestimmungen. Darunter waren Giovanni Domenico Cassini, Erasmus Bartholin, Ole Rømer und Jean-Philippe Baratier.
Gut zu beobachten ist hingegen der Erdmond, dessen Bewegung allerdings erst durch aufwendige Berechnungen auf Basis genauer Beobachtungen vorhergesagt werden konnte. Weitaus früher konnten jedoch Mondfinsternisse vorausberechnet werden.
Viele dieser Erscheinungen sind von beinahe der halben Erdoberfläche aus beobachtbar, und durch Vergleich der Zeitpunkte des Ein- und Austritts des Erdschattens auf dem Mond lassen sich Differenzen der geographischen Längen der einzelnen Beobachter bestimmen. Dieses Verfahren wurde nachweislich von Plinius (ca. 23–79) und Ptolemäus (ca. 100–ca. 175) angewandt.