Jakob Bernoulli, genannt Jakob I Bernoulli (* 27. Dezember 1654jul. / 6. Januar 1655greg. in Basel; † 16. August 1705 ebenda), war ein Schweizer Mathematiker und Physiker. Die Bezeichnung «Jakob I» dient zur Unterscheidung von seinem Grossneffen Jakob II Bernoulli (1759–1789), siehe auch den Artikel zur Familie Bernoulli.
Jakob Bernoulli hat wesentlich zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe auch Binomialverteilung und Bernoulli-Verteilung) sowie zur Variationsrechnung und zur Untersuchung von Potenzreihen beigetragen. Zudem hat er zusammen mit seinem jüngeren Bruder Johann I Bernoulli die Infinitesimalrechnung von Leibniz bearbeitet und verbreitet.
Jakob war der Sohn des Kaufmanns Niklaus Bernoulli und von dessen Ehefrau Margaretha Schönauer sowie der älteste Bruder des Mathematikers Johann I Bernoulli. Nach dem Schulbesuch und ersten Unterricht durch den Vater studierte Jakob auf dessen Wunsch Philosophie und Theologie an der Universität Basel. Im Jahr 1671 erreichte er den Magister artium und 1676 das Lizenziat lic. theol. Gegen den Willen des Vaters und fast autodidaktisch vertiefte er sich in Mathematik und Astronomie.
In den Jahren 1676 bis 1680 hatte Bernoulli verschiedene Anstellungen als Hauslehrer in Genf inne. Während dieser Zeit reiste er auch mehrmals nach Frankreich. In den Jahren 1681 bis 1682 unternahm er eine Art Kavalierstour durch Holland, Grossbritannien und Deutschland. Während dieser Reisen lernte er nicht nur die Koordinatengeometrie von Descartes kennen, sondern u. a. auch Hudde, Boyle und Hooke. Viele seiner späteren Kontakte mit damals führenden Mathematikern sind aus dieser Zeit hervorgegangen.
Wieder zu Hause in Basel, hielt Bernoulli ab 1683 private Vorlesungen über Experimentalphysik an der Universität Basel. Während dieser Zeit studierte er u. a. die Géométrie von René Descartes sowie die Arbeiten von John Wallis und Isaac Barrow, worauf er begann, sich für die Infinitesimalrechnung zu interessieren. Im Jahr 1684 heiratete er Judith Stupanus, mit der er später zwei Kinder hatte. Im Gegensatz zu vielen anderen Mitgliedern der Familie Bernoulli waren beide Kinder weder in der Mathematik noch in der Physik aktiv.
1697 zerstritt sich Jakob nach langjährigen Rivalitäten mit seinem Bruder Johann. So hat sich Johann bereits 1691 verärgert darüber gezeigt, dass Jakob seine Überlegungen zum Schwingungsmittelpunkt nicht mit ihm geteilt hatte.
1699 wurde Bernoulli als Mitglied in die Akademie der Wissenschaften von Paris und 1702 in die von Berlin (Preussische Akademie der Wissenschaften) aufgenommen. In dieser Zeit korrespondierte er u. a. mit Gottfried Wilhelm Leibniz und Nicolas Fatio de Duillier.
Jakob Bernoulli starb am 16. August 1705 im Alter von 50 Jahren in Basel; seine Professur in Basel wurde daraufhin von seinem Bruder Johann übernommen.
Ab 1686 verwendete Bernoulli die vollständige Induktion, untersuchte wichtige Potenzreihen mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen und begründete die Wahrscheinlichkeitstheorie mit (siehe Bernoulli-Verteilung). Im Jahre 1687 wurde er zum Professor für Mathematik an der Universität Basel ernannt und begann zusammen mit seinem jüngeren Bruder und Schüler Johann I Bernoulli, die Infinitesimalrechnung von Leibniz weiterzuentwickeln und anzuwenden. Die beiden Brüder benutzten als erste diesen neuen Calculus, ohne zum Umfeld von Leibniz zu gehören.
Bis 1689 hatte Bernoulli wesentliche Arbeiten zu Potenzreihen und zur Wahrscheinlichkeitsrechnung veröffentlicht, u. a. zum Gesetz der grossen Zahlen. Er bewies Bernoullis Gesetz der grossen Zahlen, das zwar nur den Binomialverteilungsfall behandelt, aber ein erstes schwaches Gesetz der grossen Zahlen darstellt. In den frühen 1690er Jahren arbeitete er vor allem im Gebiet der Variationsrechnung, wo er wichtige Kurven und Differentialgleichungen untersuchte.
In der Mechanik hatte Bernoulli vielbeachtete neue Erkenntnisse auf dem Forschungsgebiet der Schwingungsmittelpunkte von starren Körpern erzielen können. Auf ihn geht die verallgemeinerte Lösungsformel
{\displaystyle l_{\mathrm {C} }={\frac {\sum _{i}\int x_{i}^{2}dm_{i}}{\sum _{i}\int x_{i}dm_{i}}}\,}
ausgedehnte starre Massenelemente im Abstand
Die Formel ebnete den Weg dahin, dass für den Zählerterm eine eigene physikalische Grösse, das Massenträgheitsmoment bei Drehbewegungen, eingeführt wurde. Ausserdem gelang es ihm erstmals, den Beweis dieser Formel vom Hebelprinzip aus zu führen, wenn die Massen ein virtuelles Drehmoment erzeugen, eine damals offene Forschungsfrage.
Im Bereich der Mechanik elastischer Körper galt Bernoulli zudem schon zu Lebzeiten als Pionier. Seine Neuerungen umfassen sowohl die Problemstellung zur Balkenbiegung, die Analyse der darin wirkenden Biegemomente und die vereinfachenden physikalischen Hypothesen, die heute in Lehrbüchern als Bernoullische Annahmen bekannt sind. Und nicht zuletzt fand er für den Fall, dass das einwirkende Biegemoment an jeder Stelle proportional zur Krümmung ist, erstmalig die spezielle Lösung der Biegelinie
{\displaystyle {\frac {dw}{dx}}={\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{4}-x^{4}}}}\,}
Die Ausführung der Integration führte Bernoulli auf die Entdeckung der Lemniskate für Elastika.
Bernoulli verfasste im Zeitraum von 1689 bis 1704 fünf Abhandlungen über die Reihenlehre, gab die Geometria von René Descartes neu heraus und schrieb mathematische Beiträge für die Acta Eruditorum. Eines seiner wichtigsten Werke, die Ars Conjectandi, wurde erst 1713, also acht Jahre nach seinem Tod, in Basel veröffentlicht. Das Buch fasste Arbeiten anderer Autoren auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen und entwickelte sie weiter. Neben Strategien, verschiedene Glücksspiele zu gewinnen, enthält das Werk auch die Bernoulli-Zahlen.