Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* 19. Februarjul. / 3. März 1845greg. in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle an der Saale) war ein deutscher Mathematiker. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der Begründer der Mengenlehre, und er veränderte den Begriff der Unendlichkeit. Der revolutionäre Gehalt seines Werks wurde erst nach seinem Tod richtig erkannt.
Georg Cantor wurde als Sohn von Georg Woldemar Cantor, einem wohlhabenden Kaufmann und Börsenmakler, und Marie Cantor, geborener Böhm, in St. Petersburg, der damaligen Hauptstadt Russlands, geboren. Sein Vater war in Kopenhagen geboren und in jungen Jahren mit seiner Mutter nach St. Petersburg gekommen, wo er in der dortigen deutschen lutherischen Mission aufgezogen worden war. Die Aussagen Georg Cantors, sein Vater stamme aus einer sephardischen Familie und sei erst in Sankt Petersburg lutherisch getauft worden, lassen sich folgendermaßen ergänzen: Der am 6. Mai 1814 den jüdischen Eheleuten Lipman und Esther Cantor in Kopenhagen geborene Sohn erhielt den Namen Hirsch und wurde zu einem bisher nicht bekannten Zeitpunkt auf den Namen Georg Woldemar getauft. Der Tee- und Porzellanhändler Lipman Jacob Cantor hatte Esther, geborene Meyer, verwitwete Levy, 1811 geheiratet. Lipman Cantor gehörte zwar der portugiesisch-jüdischen Gemeinde an, war jedoch sehr wahrscheinlich ein Nachkomme des um 1680 nach Kopenhagen eingewanderten Abraham Cantor aus Hildesheim. Georg Cantors Mutter war in St. Petersburg geboren, römisch-katholisch und stammte aus einer bekannten österreichischen Musikerfamilie. Die Großeltern mütterlicherseits, Franz Böhm und Marie Böhm, geb. Morawek, waren beide Berufsmusiker (Violinisten); Franz Böhm war Kapellmeister der Kaiserlichen Oper in Sankt Petersburg und der Bruder des Geigers Joseph Böhm.
Die Kinder wurden im lutherischen Glauben und in einem deutschen kulturellen Umfeld aufgezogen. Der Vater war sehr fromm und instruierte seinen Sohn in religiösen Dingen. Zeit seines Lebens blieb Georg Cantor ein tief religiöser Mensch. Die Elementarschule besuchte er in Sankt Petersburg. Als er 11 Jahre alt war, siedelte die Familie wegen des schlechten Gesundheitszustandes des Vaters 1856 von St. Petersburg in das mildere Klima der Kurstadt Wiesbaden und etwas später nach Frankfurt am Main über.
Nach dem Schulabschluss („mit Auszeichnung“) 1860 an der Realschule Darmstadt wechselte er auf die Höhere Gewerbeschule Darmstadt, die heutige Technische Universität Darmstadt, wo er sich dem Corps Hassia anschloss. Dort begann er auf Wunsch seines Vaters eine Berufsausbildung für Ingenieure. 1862 gelang es ihm, den Vater davon zu überzeugen, dass seine Stärken eher in der Mathematik lagen, und er begann ein Mathematikstudium am Polytechnikum in Zürich. 1863 wechselte er an die Universität nach Berlin. 1866 besuchte er ein Sommersemester lang die Universität Göttingen und wurde 1867 an der Universität Berlin bei Ernst Eduard Kummer promoviert. Zu seinen Lehrern zählten Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer und Leopold Kronecker. Unmittelbar danach wurde er als Mathematiklehrer am Friedrich-Wilhelm-Gymnasium Berlin tätig. Bereits zu dieser Zeit litt er zeitweise an Depressionen. Nach der Habilitation 1869 an der Universität Halle mit dem Thema De transformatione formarum ternarium quadricarum lehrte und arbeitete Cantor bis zu seinem Lebensende in Halle, zunächst als Privatdozent, seit 1872 als Extraordinarius und seit 1877 bis zu seiner Emeritierung im Jahr 1913 als ordentlicher Professor. In Halle verkehrte er unter anderem freundschaftlich mit Edmund Husserl, dem Begründer der Phänomenologie.
Im Jahre 1870 gelang ihm die Lösung des mathematischen Problems der Darstellung einer Funktion als Summe trigonometrischer Reihen. Es folgten ab 1872 weitere Arbeiten über trigonometrische Reihen und 1873 der Beweis, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist (das heißt, man kann die rationalen Zahlen so den natürlichen Zahlen zuordnen, dass es zu jeder natürlichen Zahl genau eine rationale Zahl gibt). Bereits im darauffolgenden Jahr gelang ihm umgekehrt der Beweis, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Dies verwendete er auch für den Nachweis, dass beinahe alle Zahlen transzendent sind.
1874 heiratete er Vally Guttmann, mit der er zwei Söhne und vier Töchter hatte (das letzte Kind wurde 1886 geboren). Der Sohn Erich war Arzt, die Tochter Else eine Konzertsängerin und bekannte Musikpädagogin. Seine Flitterwochen verbrachte er im Harz, wo er auch intensiv mit Richard Dedekind, einem engen Freund, den er zwei Jahre zuvor während eines Urlaubs in der Schweiz kennengelernt hatte, über Mathematik diskutieren konnte. Im gleichen Jahr setzte er seine Veröffentlichungen zur Mengenlehre mit Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen fort. Eine spätere Analyse der Korrespondenz zwischen Dedekind und Cantor zeigte, dass Cantor bei der Veröffentlichung als Alleinautor die Beiträge Dedekinds zu den Beweisen in dieser Veröffentlichung unterschlug. 1877 behandelte er geometrische Anwendungen der Mengenlehre, zum Beispiel, ob ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 genauso viele Elemente enthält wie die Linie zwischen 0 und 1. Obwohl er ursprünglich von der Annahme ausging, dass es nicht so sei, war er selbst über seine gemachte Entdeckung und die Beweisführung überrascht. „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht“, schrieb er selbst. Das hatte große Auswirkungen auf die bisherigen geometrischen Anschauungen. Die dazu von ihm angefertigten Abhandlungen, die er zur Veröffentlichung an Crelles Journal geschickt hatte, wurden von seinem früheren Lehrer Leopold Kronecker zurückgehalten, der ein Vertreter finitistischer Mathematik war, dem Begriff der Unendlichkeit skeptisch gegenüberstand und sich zu einem einflussreichen Gegner der Cantorschen Mengenlehre entwickelte. Erst die Intervention seines Freundes Dedekind führte zur Veröffentlichung.
Ab 1879 entwickelte er weitere revolutionierende Ideen zur Mengenlehre. So gab er bis 1884 eine Artikelreihe mit dem Titel Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten heraus. Darin begründete er die Grundlagen und Hauptsätze der Mengenlehre. Teil 5 der Reihe beschäftigt sich mit den Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
Der Widerstand gegen seine mathematischen Ideen belastete Cantor und führte mit dazu, dass er für fast zehn Jahre sein mathematisches Fachgebiet verließ und sich mit literaturhistorischen Forschungen, philosophischen und theologischen Themen beschäftigte. Das erfolgte fast zeitgleich mit dem stärkeren Ausbruch seiner Krankheit, die ihn in der zweiten Lebenshälfte immer mehr dominierte. So litt Cantor von 1884 an wiederholt an einer bipolaren Störung und musste sich erstmals in psychiatrische Behandlung begeben. Cantors Beschäftigung mit der Frage nach dem „wahren“ Autor der shakespeareschen Werke fällt in die erste Zeit seiner geistigen Erkrankung. Er sprach sich in mehreren Veröffentlichungen für Francis Bacon als Verfasser aus. Ähnliche Erörterungen stellte Cantor auch in Hinblick auf die Werke von Jakob Böhme und John Dee an. Dieses sehr forcierte literaturgeschichtliche Engagement wird oft als Folge seiner Geisteskrankheit betrachtet, doch war die Beteiligung an dem Rätselraten um Shakespeare allgemein sehr verbreitet, und Cantor zeigte stets an Fragen außerhalb seines Fachgebietes großes Interesse, besonders an Philosophie und (katholischer) Theologie, die für ihn in engem Bezug zu den mengentheoretischen Problemen der Unendlichkeit stand.
In diesen zehn Jahren erfuhr er zahlreiche Ehrungen und erlebte auch die zunehmende Wertschätzung seiner bisherigen mathematischen Erkenntnisse. Er wurde Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina und beteiligte sich aktiv an der Gründung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die 1890 erfolgte. Cantor wurde zum ersten Vorsitzenden gewählt. Erst 1895 griff er seine Arbeiten zur Mengenlehre wieder konsequent auf. Er veröffentlichte die Beiträge zur transfiniten Mengenlehre, beschäftigte sich mit der Kontinuumshypothese und besuchte 1897 den ersten internationalen Mathematikerkongress in Zürich.