David Hilbert (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Physiker, Philosoph und Hochschullehrer. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Rudolf Fueter nannte ihn 1932 den „Lehrer aller lebenden Mathematiker“.
Viele seiner Arbeiten auf den verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und mathematischen Physik entwickelten sich zu eigenständigen Forschungsgebieten weiter. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass durch das Hilbertprogramm die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.
Hilbert wurde als Sohn des Amtsgerichtsrats Otto Hilbert und seiner Frau Maria Theresia, geb. Erdtmann, geboren. Väterlicherseits entstammte er einer alten ostpreußischen Juristenfamilie, die Mutter kam aus einer Königsberger Kaufmannsfamilie. Der Vater wurde als „eher einseitiger Jurist, von so regelmäßigen Gewohnheiten, daß er jeden Tag den gleichen Spaziergang machte“ beschrieben. Er stand der Laufbahn seines Sohnes kritisch gegenüber, wohingegen seine Mutter vielseitige Interessen hatte, unter anderem auf den Gebieten der Astronomie und Philosophie sowie der angewandten Mathematik. Er hatte noch eine jüngere Schwester, Elise Frenzel, die einen Richter heiratete und 1897 schon im Alter von 28 Jahren verstarb. In seiner Heimatstadt besuchte Hilbert als Schüler zunächst das Friedrichskollegium und wechselte ein Jahr vor dem Abitur auf das mehr naturwissenschaftlich-mathematisch orientierte Wilhelms-Gymnasium. Von seinen schulischen Leistungen ist nichts Bemerkenswertes überliefert. Anekdotisch wurde kolportiert, dass der junge Hilbert zwar keine guten Deutschaufsätze schrieb (die hatte manchmal seine Mutter verfasst), jedoch seinen Lehrern mathematische Probleme erklären konnte. Sein Mathematiklehrer von Morstein gab ihm im Abitur die bestmögliche Zeugnisnote und bescheinigte ihm „Gründliches Wissen und die Fähigkeit, die ihm gestellten Aufgaben auf eigenem Wege zu lösen“. Auf seine Schulleistungen angesprochen meinte Hilbert später: „Ich habe mich auf der Schule nicht besonders mit Mathematik beschäftigt, denn ich wußte ja, daß ich das später tun würde.“
Studium sowie Begegnung und Austausch mit Minkowski und Hurwitz
Mit dem Sommersemester 1880 begann der 18-jährige Hilbert das Studium der Mathematik an der Albertus-Universität in Königsberg. Die Königsberger Universität konnte damals auf eine glänzende Tradition in der Mathematik zurückblicken und galt in diesem Fach als eine Ausbildungsstätte ersten Ranges. Hier hatten unter vielen anderen Carl Gustav Jacob Jacobi, Friedrich Wilhelm Bessel, Friedrich Julius Richelot und der Physiker Franz Ernst Neumann gelehrt und gearbeitet. Zu Hilberts Lehrern gehörte der aus Heidelberg kommende Heinrich Weber. Wohl durch Vermittlung Webers verbrachte Hilbert sein zweites Semester in Heidelberg, kehrte danach jedoch nach Königsberg zurück. Weber erkannte und förderte frühzeitig Hilberts mathematische Begabung.
Während des Studiums lernte Hilbert seinen zwei Jahre jüngeren Kommilitonen Hermann Minkowski kennen, der aus einer jüdischen Familie aus Litauen stammte, die nach Ostpreußen eingewandert war. Mit Minkowski verband ihn eine lebenslange enge Freundschaft. 1883 wurde Ferdinand Lindemann der Nachfolger auf dem Lehrstuhl (Ordinariat) von Weber und 1884 wurde Adolf Hurwitz auf den zweiten Mathematik-Lehrstuhl (das Extraordinariat) berufen. Hurwitz war nur drei Jahre älter als Hilbert und Hilbert sagte später über ihn: „Wir, Minkowski und ich, waren ganz erschlagen von seinem Wissen und glaubten nicht, daß wir es jemals so weit bringen würden.“ Der regelmäßige wissenschaftliche Austausch mit Hurwitz und Minkowski wurde für Hilbert prägend. Im Nachruf auf Hurwitz schrieb Hilbert: „Auf zahlreichen, zeitenweise Tag für Tag unternommenen Spaziergängen haben wir damals während acht Jahren wohl alle Winkel mathematischen Wissens durchstöbert, und Hurwitz mit seinen ebenso ausgedehnten und vielseitigen wie festbegründeten und wohlgeordneten Kenntnissen war uns dabei immer der Führer“. Lindemann hatte dagegen nur wenig Einfluss auf Hilbert; er schlug ihm jedoch das Thema seiner Doktorarbeit vor. 1885 wurde Hilbert bei ihm mit der Arbeit Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen in der Philosophischen Fakultät promoviert.
Begegnung mit Felix Klein, Habilitation und Professur
Nach der Promotion begab sich Hilbert im Winter 1885/86 auf eine Studienreise, die ihn zunächst an die Universität Leipzig zu Felix Klein führte. Klein erkannte ebenfalls die hohe Begabung Hilberts und zwischen den beiden entwickelte sich eine intensive wissenschaftliche Korrespondenz. Auf Anraten Kleins hielt sich Hilbert noch für einige Monate in Paris auf. Einen solchen Aufenthalt empfahl Klein allen talentierten Schülern, da er selbst zusammen mit Sophus Lie 1870 in Paris gewesen war, wo er wichtige Anregungen erhalten hatte. Hilbert kam in Kontakt mit vielen bekannten französischen Mathematikern (Charles Hermite, Henri Poincaré, Camille Jordan, Pierre Ossian Bonnet). Den besten Eindruck nahm er von Poincaré und Hermite mit; er zeigte sich aber insgesamt von der französischen Mathematik nicht sehr beeindruckt.
1886 habilitierte sich Hilbert in Königsberg mit einer Arbeit über invariantentheoretische Untersuchungen im binären Formengebiet und wurde Privatdozent. Nachdem Adolf Hurwitz 1892 einen Ruf nach Zürich angenommen hatte, wurde Hilbert dessen Nachfolger im Extraordinariat. 1893 folgte Lindemann einem Ruf nach München und Hilbert wurde nun Ordinarius. Hilbert konnte durchsetzen, dass sein Freund Hermann Minkowski auf das vakant gewordene Extraordinariat nach Königsberg berufen wurde.
Am 12. Oktober 1892 heiratete David Hilbert die mit ihm seit längerer Zeit befreundete Käthe Jerosch (* 31. März 1864 in Braunsberg im Ermland, † 17. Januar 1945 in Göttingen). Käthe war zeit ihres Lebens eine wesentliche Stütze der wissenschaftlichen Arbeit Hilberts. Mit ihrer besten Handschrift schrieb sie seit Beginn der Ehe Reinschriften von Korrespondenz und Buchmanuskripten zur Vorlage bei der Druckerei. Diese Verpflichtung behielt sie auch nach den anstrengenden Vorkommnissen um den gemeinsamen Sohn Franz bei. Käthe starb nahezu erblindet und vereinsamt.
Das einzige Kind Franz Hilbert wurde am 11. August 1893 geboren. Sein ganzes Leben litt er unter einer nicht genau diagnostizierten psychischen Störung. Seine geringen geistigen Fähigkeiten belasteten seinen Vater. Richard Courant, ab 1909 Privatlehrer an einer Mädchenschule in Göttingen und Assistent von David Hilbert, wurde damit beauftragt, Franz Nachhilfe zu geben, um dessen schulische Leistungen zu verbessern. Versuche, in einem Beruf Fuß zu fassen, schlugen fehl. Eines Tages kam Franz mit den Symptomen einer wahnhaften Störung nach Hause und wurde daraufhin in eine Klinik für Geisteskranke nahe der Universität Göttingen gebracht. Dies war der Auslöser für die in der Göttinger Gesellschaft aufkommenden (falschen) Mutmaßungen, David und Käthe Hilbert seien Cousins 1. Grades. Hilbert brach in der Folge den Kontakt zu seinem Sohn weitgehend ab und soll ihn während des Klinikaufenthaltes auch nie besucht haben.
Als seine Mutter ihn einige Zeit später nach Hause zurückbrachte, war der Frieden im Hause Hilbert gestört. Der Vater konnte die Krankheit seines Sohnes nicht ertragen, die Mutter wollte ihren Sohn nicht hergeben. Es kam zu Spannungen zwischen den Eheleuten. Beim 60. (1922) und 75. (1937) Geburtstag von David Hilbert war Franz Hilbert zu Hause. Franz Hilbert starb 1969.