Alexander Grothendieck (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, dem insbesondere ein völliger Neuaufbau der algebraischen Geometrie zu verdanken ist. Außerdem war er Pazifist und Ökologe. Er war Begründer einer eigenen Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch die politischen Ideen des Mai 1968 in Frankreich zog sich Grothendieck 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück und nahm 1971 die französische Staatsbürgerschaft an. 1991 verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.
Alexander Grothendiecks mathematische Veröffentlichungen umfassen die Gebiete der Topologie, der algebraischen Geometrie und der Funktionalanalysis. Zu seinen späteren Schriften gehören Thesenpapiere und Meditationsschriften aus den Bereichen der Ökologie, Philosophie, Religion und vor allem der Esoterik.
Weil ein Großteil seines Lebens und Wirkens sich in Frankreich vollzog, wird sein Name oft als Alexandre Grothendieck angegeben, während er selbst gelegentlich betonte, seinen ursprünglichen deutschen Vornamen beibehalten zu haben. Auf einem handgeschriebenen Brief, den er am 3. Januar 2010 anlässlich der von ihm selbst gewünschten Entfernung seiner Schriften verfasste, unterschrieb er jedoch mit der französischen Namensform.
Alexander Grothendieck wurde in Berlin geboren, wo seine Mutter, die norddeutsche Journalistin und Schriftstellerin Johanna „Hanka“ Grothendieck (1900–1957), lebte und mit einem Mann verheiratet war, der nicht sein Vater war (aus dieser Beziehung stammte Alexanders Halbschwester Maida). Sein Vater, Alexander Schapiro (1890–1942), lebte seit 1921 illegal unter dem Namen „Alexander Tanarow“. Er war von chassidischer Herkunft, wurde Anarchist, musste, weil er in der ukrainischen Machnobewegung aktiv gewesen war, nach der russischen Oktoberrevolution die Ukraine verlassen und ging als Exilant nach Berlin. Dort verdiente er seinen Lebensunterhalt als Straßenfotograf und lernte Hanka Grothendieck kennen.
„Schurik“, wie Grothendieck als Kind genannt wurde, verlebte seine frühe Kindheit in Berlin bei seinen Eltern. 1933 floh der Vater vor den Nationalsozialisten nach Paris. Die Mutter folgte ihm einige Monate später und gab den Sohn in die Obhut von Pflegeeltern, Dagmar und Wilhelm Heydorn in Hamburg. Wilhelm Heydorn, ein ehemaliger evangelischer Theologe, der schon 1913 dem atheistischen Monistenbund beigetreten war, blieb auch unter dem Nazi-Regime heimlich politisch aktiv. Grothendieck besuchte die Volksschule und anschließend das Gymnasium Blankenese. Seine leiblichen Eltern, Hanka Grothendieck und Alexander Schapiro, engagierten sich unterdessen auf der Seite der anarchosyndikalistischen Gruppen im spanischen Bürgerkrieg.
Nachdem Grothendieck 1939 von seinen Eltern nach Frankreich geholt worden war, wurde die Familie 1940 durch die Vichy-Regierung in Rieucros, einem Lager für politische Gefangene, interniert. Alexander Schapiro wurde 1942 ins KZ Auschwitz-Birkenau gebracht und dort als eines der ersten Opfer ermordet.
1942 entkam Alexander Grothendieck dem Lager in Frankreich und ging nach Le Chambon-sur-Lignon in den Cevennen – in jenes protestantische Dorf, das während der deutschen Besatzung Frankreichs Juden Unterschlupf gewährte. Dort lernte er André Trocmé kennen. Grothendieck besuchte dort das Collège Cevenol und schloss 1945 mit dem Baccalauréat ab. Nach der Befreiung durch die Alliierten wurden Mutter und Sohn wieder vereint. Sie blieben bis zum Tod der Mutter – sie starb 1957 an einer Tuberkulose, die sie sich während der Internierung zugezogen hatte – eng verbunden. 1947 war Grothendieck zusammen mit Theodor Michaltscheff Mitbegründer der Internationale der Kriegsdienstgegner (IDK).
Studium und Funktionalanalysis
Von 1945 bis 1948 studierte Grothendieck Mathematik in Montpellier, wo er für sich allein Ergebnisse der Maßtheorie und des Lebesgue-Integrals wiederentdeckte. Danach wechselte er den Studienort, zunächst nach Paris an die École normale supérieure, wo er das berühmte Seminar von Henri Cartan besuchte. Da sich Grothendieck auf Funktionalanalysis spezialisierte, riet Cartan ihm Ende 1949, zu Jean Dieudonné und Laurent Schwartz nach Nancy zu gehen.
Grothendieck schloss 1953 in Nancy mit seiner einflussreichen Dissertation über topologische Vektorräume ab, in der er viele offene Probleme mit abstrakten algebraischen (homologischen) Methoden löste (Tensorprodukte und nukleare Räume, erschienen in den Memoirs of the American Mathematical Society 1955). Es wird sogar erzählt, dass er alle 14 Probleme, die Laurent Schwartz, Pionier der Distributionentheorie und Fields-Medaillist, als wegweisend ansah, innerhalb eines Jahres löste.
Da in Frankreich für Grothendieck damals keine Stellen in Aussicht waren – er blieb bis zum Sommer 1971 staatenlos; die Annahme der französischen Staatsbürgerschaft hätte Wehrdienst bedeutet, was seine Kandidatur erschwerte –, ging er auf Empfehlung von Freunden nach São Paulo und an die Universität von Kansas, wo er bis 1956 blieb. Er setzte dort seine Reihe fundamentaler Arbeiten in der Funktionalanalysis fort.
Ab 1955 wandte sich Alexander Grothendieck der algebraischen Geometrie zu. Zunächst schrieb er noch in Kansas eine einflussreiche Arbeit über die Theorie abelscher Kategorien, die im Tohoku Mathematical Journal erschien und daher als Tohoku-Paper bekannt ist. Er arbeitete sich im Seminar von Claude Chevalley in Paris in das Thema ein und führte intensive Diskussionen mit Jean-Pierre Serre, auf dessen breites Wissen auch klassischer Resultate er immer wieder zurückgriff (der Briefwechsel der beiden aus dieser Zeit wurde 2003 veröffentlicht). Auch hier versuchte er zuerst, die Theorie möglichst weit zu abstrahieren: Sätze über algebraische Varietäten wurden im Rahmen der Kategorientheorie in solche über Abbildungen (Morphismen) zwischen Kategorien von Objekten wie Varietäten und Gruppen umgewandelt. Sein für die damalige mathematische Welt eindrucksvollster Erfolg war die abstrakte Formulierung des Satzes von Hirzebruch-Riemann-Roch, bei dem es um die Dimension des Raums der Vektorbündel über einer Varietät geht (im klassischen Fall einer riemannschen Fläche). Serre hatte schon eine Formulierung als alternierende Summe der Dimensionen der zugehörigen Kohomologiegruppen gegeben, die in dem Satz durch topologische Invarianten ausgedrückt wird. Der Satz wurde von Friedrich Hirzebruch mit komplizierten topologischen Methoden bewiesen. Grothendieck formulierte und bewies ihn in abstraktem algebraischen Rahmen. Veröffentlicht wurde das Ergebnis in einer Arbeit von Jean-Pierre Serre und Armand Borel 1957 (angeblich war es Grothendieck selbst noch nicht abstrakt genug). In dieser Arbeit liegen auch die Ursprünge der topologischen K-Theorie der 1960er Jahre, entwickelt unter anderem von Michael Atiyah und Hirzebruch besonders in Zusammenhang mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz. Grothendieck erzielte damit auch auf diesem Gebiet den wesentlichen Durchbruch und wurde auf dem ICM in Edinburgh 1958 gebeten, einen der Plenarvorträge zu halten (Titel: The Cohomology theory of abstract algebraic varieties). Hier skizzierte er auch schon sein späteres Programm, eine abstrakte topologische Homologietheorie in der algebraischen Geometrie zu formulieren, die so allgemein ist, dass sie ihre Ergebnisse gleichzeitig sowohl über Körpern wie den komplexen und reellen Zahlen (klassische algebraische Geometrie) als auch über endlichen und p-adischen Körpern (Zahlentheorie) formuliert. Analogien zwischen Zahlkörpern und Funktionenkörpern (algebraische Geometrie), die schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt waren (etwa Richard Dedekind, Heinrich Weber, Leopold Kronecker), könnten so in natürlicher Weise eine Erklärung finden (es ist auch noch immer so, dass Sätze, deren Beweis für Zahlkörper zu schwierig ist, erst im einfacheren Fall von „Funktionenkörpern“ bewiesen werden).